Forme quadratique classification

Le théorème de Sylvester suggère un classement affine avec les signatures.
En effet cela donne des noms aux quadriques.

Je me demande si l'on n'a pas le terme "classification" quand on munit l'espace d'un produit scalaire (classification euclidienne). Un peu comme les coniques où toutes les ellipses ne se valent pas selon l'excentricité.

Bonjour,

geo a écrit:

Qu'entend t-on par classification des formes quadratiques?
Est ce que la classification est donnée par le théorème de Sylvester?

Attention à ne pas ignorer le corps de base au niveau de la problématique de classification des formes quadratiques.
Le théorème de Sylvester intervient au niveau de la classification des formes quadratiques lorsque le corps de base est $\mathbb{R}$.

Les problèmes de classification sont souvent relatifs à l'action d'un groupe : il s'agit alors de déterminer les orbites pour l'action de ce groupe.

Pour les formes quadratiques sur un $K$-espace vectoriel $E$ : le groupe linéaire $GL(E)$ agit (à droite) sur l'espace $Q(E)$ des formes quadratiques par
$$\begin{align} Q(E)\times GL(E) &\longrightarrow Q(E)\\
(q,u)&\longmapsto q\circ u\end{align}$$
Les classes de la classification sont les orbites. C'est ce qu'a expliqué Blueberry.

Le jeu, c'est de trouver des invariants pour l'action du groupe, et si possible un système d'invariants complet ; complet veut dire que deux formes quadratiques ont même système d'invariants si et seulement si elles sont dans la même orbite.
Pour les formes quadratiques, les invariants les plus célèbres sont le rang, l'indice de Witt, le discriminant (ceci pour tous les corps), et la signature pour les formes quadratiques sur un espace vectoriel réel.
Le rang est un invariant complet sur $\mathbb C$, la signature est un invariant complet sur $\mathbb R$ (se donner la signature revient à se donner le rang et l'indice de Witt). Le discriminant est un invariant complet pour les formes quadratique non dégénérées sur un corps fini (de caractéristique $\neq 2$).

Pour les formes quadratiques sur un espace vectoriel euclidien $E$, on peut faire agir le groupe des isométries de $E$ au lieu du groupe linéaire tout entier (même action que ci-dessus). Un système d'invariant complet pour cette action est le spectre de l'endomorphisme symétrique associé à la forme quadratique (les valeurs propres de la matrice de la forme quadratique dans une base orthonormale). C'est un invariant plus fin que la signature, bien sûr : la signature est donnée par les signes des valeurs propres.

Merci.