Forme quadratique classification
Bonjour.
Qu'entend-on par classification des formes quadratiques ?
Est-ce que la classification est donnée par le théorème de Sylvester ?
J'ai l'impression que oui car ce théorème indique la "forme" de la matrice diagonale dans une base Q-orthogonale.
L'aspect géométrique fait-il parti de la classification ?
Merci de m'éclairer.
Qu'entend-on par classification des formes quadratiques ?
Est-ce que la classification est donnée par le théorème de Sylvester ?
J'ai l'impression que oui car ce théorème indique la "forme" de la matrice diagonale dans une base Q-orthogonale.
L'aspect géométrique fait-il parti de la classification ?
Merci de m'éclairer.
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Réponses
En effet cela donne des noms aux quadriques.
Je me demande si l'on n'a pas le terme "classification" quand on munit l'espace d'un produit scalaire (classification euclidienne). Un peu comme les coniques où toutes les ellipses ne se valent pas selon l'excentricité.
Attention à ne pas ignorer le corps de base au niveau de la problématique de classification des formes quadratiques.
Le théorème de Sylvester intervient au niveau de la classification des formes quadratiques lorsque le corps de base est $\mathbb{R}$.
Merci
Pour les formes quadratiques sur un $K$-espace vectoriel $E$ : le groupe linéaire $GL(E)$ agit (à droite) sur l'espace $Q(E)$ des formes quadratiques par
$$\begin{align} Q(E)\times GL(E) &\longrightarrow Q(E)\\
(q,u)&\longmapsto q\circ u\end{align}$$
Les classes de la classification sont les orbites. C'est ce qu'a expliqué Blueberry.
Le jeu, c'est de trouver des invariants pour l'action du groupe, et si possible un système d'invariants complet ; complet veut dire que deux formes quadratiques ont même système d'invariants si et seulement si elles sont dans la même orbite.
Pour les formes quadratiques, les invariants les plus célèbres sont le rang, l'indice de Witt, le discriminant (ceci pour tous les corps), et la signature pour les formes quadratiques sur un espace vectoriel réel.
Le rang est un invariant complet sur $\mathbb C$, la signature est un invariant complet sur $\mathbb R$ (se donner la signature revient à se donner le rang et l'indice de Witt). Le discriminant est un invariant complet pour les formes quadratique non dégénérées sur un corps fini (de caractéristique $\neq 2$).
Pour les formes quadratiques sur un espace vectoriel euclidien $E$, on peut faire agir le groupe des isométries de $E$ au lieu du groupe linéaire tout entier (même action que ci-dessus). Un système d'invariant complet pour cette action est le spectre de l'endomorphisme symétrique associé à la forme quadratique (les valeurs propres de la matrice de la forme quadratique dans une base orthonormale). C'est un invariant plus fin que la signature, bien sûr : la signature est donnée par les signes des valeurs propres.
Dans ce polycopié on parle des coniques et des classifications : https://webusers.imj-prg.fr/~christian.blanchet/enseignement/2013-14/L3/ch5_coniques.pdf
Je m'interroge : on a plusieurs classes d'équivalences.
Les matrices équivalentes, les matrices congruentes, les matrices semblables.
Ici les matrices considérées sont symétriques : l'intersection de "congruentes et semblables" donnent les isométries, non ?
Est-ce pertinent de parler des trois, dans ce cadre "classification des formes quadratiques" ?
Edit : Merci GaBuZoMeu, tu éclaires ma lanterne (diffuse et même plutôt confuse !) avant même que je poste mon message, dans ce fil :-)