Une matrice non positive
Salut, prouver que la matrice $\begin{pmatrix}A+B&B&C\\B&C+A&A\\C&A&B+C\end{pmatrix} $ n'est jamais semi-définie positive.
Salut, prouver que la matrice $\begin{pmatrix}C&B&C\\B&B&A\\C&A&A\end{pmatrix} $ n'est jamais semi-définie positive sauf pour $A=B=C$.
[Pour la incompréhension des premières réponses, il est préférable de laisser l'énoncé initial. AD]
Salut, prouver que la matrice $\begin{pmatrix}C&B&C\\B&B&A\\C&A&A\end{pmatrix} $ n'est jamais semi-définie positive sauf pour $A=B=C$.
[Pour la incompréhension des premières réponses, il est préférable de laisser l'énoncé initial. AD]
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Réponses
En supposant $A,B,C$ réels, c’est évidemment faux.
Merci
Je ne vois pas pourquoi c'est « évidemment faux » (avec moins de calculs, quoi).
On suppose $A,B,C$ réels, la trace, qui est égale à la somme des valeurs propres - toutes réelles puisque la matrice est symétrique et réelle - vaut $2(A+B+C)$ et prend donc des valeurs négatives : une au moins des valeurs propres est alors strictement négative.
@math cross : valides-tu ce raisonnement sans calcul compliqué ?
Toutefois, il ne m'était pas venu à l'idée de prendre des valeurs négatives pour $A$, $B$ ou $C$.
Merci Je pense corriger l'énoncé
C’est encore immédiatement et évidemment faux. A moins que tu trouves mon raisonnement faux ?
Celui que tu n’as pas lu.
Merci pour tout cas.
Si $u$ est vecteur propre de la matrice $M$ et $\lambda<0$ est sa valeur propre strictement négative, alors $u^TMu=\lambda ||u||^2<0$...
Cordialement
Quand tu écris ‘je ne sais pas’ c’est juste, le reste est faux. Mais bon le problème est que tu ne comprends pas les définitions et que tu ne fais pas de raisonnements mathématiques. Une bonne recette pour prendre ton temps et le notre.
Faux ?
$$M=\left[\begin{array}{ccc}A&A&C\\A&B&B\\C&B&C\end{array}\right]$$ soit semi definie positive. Alors $A=B=C$. En effet:
Supposons d'abord $A,B,C\in P.$ Alors $\left[\begin{array}{ccc}A&A\\A&B\end{array}\right]$ est definie positive et donc $A-AB^{-1}A\in P_0$, et donc $B-A\in P_0.$ De meme $C-B$ et $A-C$ sont dans $P_0$, et comme $(B-A)+(C-B)+(A-C)=0,$ cela entraine $(B-A)=(C-B)=(A-C)=0.$ Passons au cas general. Soit $$J=\left[\begin{array}{ccc}I_r&I_r&I_r\\I_r&I_r&I_r\\I_r&I_r&I_r\end{array}\right]$$ Alors $J$ est semi definie positive et donc $M+J$ egalement. Comme $A+I_r, B+I_r, C+I_r$ sont dans $P,$ d'apres le raisonnement precedent $A+I_r= B+I_r= C+I_r$ et donc $A=B=C.$
juste pour savoir: l'adjectif "défini" cela implique bien que pour qu'il n'existe pas de vecteur qui annule la forme quadratique associée à la matrice ? car si c'est le cas ... la matrice "J" est "semi-définie?" ou plutôt "non négative" car de rang 1.
Merci j'ai une solution spécialement calculatoire mais tous revient au cycle $A, B, C$.
Edit
Je me rend compte que par chois de block tu as prouvez $A^{-1}\ge B^{-1}$ implique que $B\ge A$ . Ce n'est pas facile en générale il y a des preuves compliqué!
néanmoins ce qui me gêne c'est que la matrice n'est pas inversible: elle possède au moins 2 colonnes identiques
je parle de $J$