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Déterminant et produit tensoriel

Envoyé par noradan 
Déterminant et produit tensoriel
l’an passé
Bonjour
je voudrais avec un produit tensoriel prouver que le déterminant $4\times 4$ de $\begin{vmatrix}A&B\\-3B&A\end{vmatrix}$
vaut $(\det A+3\det B)^2$
$A$ et $B$ étant des matrices $2\times 2$ qui commutent.
Ce n'est donc pas bêtement un produit de Kronecker
pour info $A=\begin{pmatrix}a&b\\5b&a\end{pmatrix}$ et $B=\begin{pmatrix}c&d\\5d&c\end{pmatrix}$ mais ça n'a pas d'importance sauf que le $2\times 2$ donne le carré.

Ça se fait très bien avec un développement par blocs $2\times 2$ (je recommande d'ailleurs aux collègues cette très jolie application de cette formule) mais je voudrais une solution qui fasse intervenir un produit tensoriel car ça me semble plus naturel sauf que je ne maîtrise pas du [tout] la chose.
Merci.



Edité 1 fois. La dernière correction date de l’an passé et a été effectuée par AD.
Re: Déterminant et produit tensoriel
l’an passé
C'est pas plus tôt det(A^2+3B^2) ?
Re: Déterminant et produit tensoriel
l’an passé
Bonjour,
je ne sais pas si il y a une méthode avec un produit tensoriel mais en décomposant la matrice en un produits des matrices par blocs ça devrait peut-être être faisable.



Edité 1 fois. La dernière correction date de l’an passé et a été effectuée par callipiger.
Re: Déterminant et produit tensoriel
l’an passé
En réalisant $\begin{pmatrix}Id&A^{-1}B\\-3A^{-1}B&Id\end{pmatrix}$ comme un produit de transvections. puis prendre "l'homothétie" de "valeur propre" $A$ si $A$ est inversible (et elle l'est tant que les deux paramètres ne sont pas nuls).



Edité 2 fois. La dernière correction date de l’an passé et a été effectuée par AD.
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