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Groupe diédral (aide à la rédaction)

Envoyé par arroyo 
Groupe diédral (aide à la rédaction)
il y a onze mois
Bonjour,
J'ai besoin d'un petit coup de main pour la rédaction de l'exercice en pièce-jointe s'il vous plaît. J'essaie de traiter les questions 3 et 4 en même temps.

Pour cela, je pose $E = \{ r^ks^{\epsilon}\mid (k, \epsilon) \in [\![0, n-1]\!]\times [\![0,1]\!] \}$. Puis, je montre que $(E, \circ)$ est un groupe. Pour justifier rapidement, $\circ$ est bien sûr associative, $r^0s^0 = Id \in E$, et tout élément est symétrisable:
$r^ks^0$ admet pour symétrique $r^{n-k}s^0$ et
$r^ks^1$ admet pour symétrique lui-même.

Le but avec ça est de montrer que $E = <r,s> = D_n$.
Si il n'y a pas d'erreur jusque là, c'est à ce moment que j'ai besoin de mon coup de main grinning smiley!
Je veux montrer que $E = <r,s>$, et c'est là que ma rédaction ne me paraît pas terrible.
Soit $G$ un sous-groupe de $E$ contenant $r$ et $s$. Par la caractérisation des sous-groupes, $r \circ r \in G$, donc $r^2 \in G$. Remarquons que $r^n = r^0$.
Par récurrence immédiate, $\forall k \in [\![0, n-1]\!], r^k \in G$.
De plus, $s^0, s^1 \in G$ et $s^2 = Id = s^0$.
Donc $\forall (k, \epsilon) \in [\![0, n-1]\!]\times [\![0,1]\!], r^ks^\epsilon \in G$.
On a également dans $G$ les $s^\epsilon r^k$ or $s^0r^k = r^ks^0$ et $s^1r^k = r^{n-k}s^1$. Ils sont donc bien présents.
Tout élément de $G$ admet bien un symétrique. (Vérifié plus haut).
On a donc montré que $G = E$. Ainsi, $E$ n'admet pas de sous-groupe différent de lui-même tel que ce sous-groupe contienne $r$ et $s$. Donc $E$ est le plus petit groupe tel que $r,s \in E$. D'où $<r,s> = E$.


Comme $\forall (k, \epsilon) \in [\![0, n-1]\!]\times [\![0,1]\!],\ r^ks^\epsilon (P_n) \subset P_n,\ <r,s> \subset D_n$.
Pour conclure avec la question 4), en remarquant que si $z \in D_n$, alors comme $z(P_n) \subset P_n,\ \forall k \in [\![0, n-1]\!],\ \exists p \in [\![0, n-1]\!]$ tel que $z : e^{\frac{2ik\pi}{n}} \mapsto e^{\frac{2ip\pi}{n}}$ et donc je pourrai réécrire ça en terme d'applications de $<r,s>$. On en déduit alors que $<r,s>\, = D_n$ et que $\mathrm{card\,} D_n = 2n$ etc.
Dernière question qui n'a pas à voir avec la rédaction, que peut-on dire de l'inclusion ? Qu'elle n'est pas stricte ?

La rédaction est-elle bonne ou le raisonnement est-il fumeux ? (Je ne sais pas vraiment comment m'y prendre pour montrer que $X$ est bien le plus petit truc contenant $x$.)
J'ai sauté pas mal de calculs, ils seraient bien sûr écrits dans une copie.
Merci d'avance pour votre aide, bonne journée !

PS: quelqu'un sait pourquoi il y a une barre toute moche à la fin de mes expressions en Tex ? J'avais déjà vu ça mais jamais autant.
PS2 : Si jamais vous avez l'envie et le temps de m'apprendre quelque chose : je faisais surtout cet exercice pour la dernière question qui utilise le produit semi-direct (sujet d'un exercice précédent) et je me demande bien à quoi il peut servir.

edit: erreur dans le symétrique



Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a onze mois et a été effectuée par arroyo.


Re: Aide rédaction (Groupe diédral)
il y a onze mois
avatar
Pour ton problème d'affichage de barre après les formules, tu peux jeter un œil à ce fil, plus précisément ce message.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a onze mois et a été effectuée par michael.
Re: Aide rédaction (Groupe diédral)
il y a onze mois
Merci michael ! J'ai remarqué que je n'avais pas le problème sur téléphone. Je suis passé en SVG (même si c'est moins joli grinning smiley)
Bonne journée.
Re: Groupe diédral (aide à la rédaction)
il y a onze mois
avatar
Salut,

Pour montrer que $E=<r,s>$, on peut aller plus vite, sauf erreur.
Tu as montré que $E$ est un groupe contenant $r$ et $s$.
Comme $<r,s>$ est le plus petit sous-groupe contenant $r$ et $s$, on a $<r,s> \subset E$.
Par ailleurs, le sous-groupe engendré par $\{r, s\}$ étant, par définition (ou caractérisation), l'ensemble des produits d'éléments de $\{r, s\}$ et de leurs symétriques, il contient clairement $E$.

Bonne journée.

michaël.
Re: Groupe diédral (aide à la rédaction)
il y a onze mois
Salut michaël,

Oui ça marche bien! C'est justement sur cette partie que ma rédaction me semblait fragile. Merci!

Bonne journée.
Re: Groupe diédral (aide à la rédaction)
il y a deux mois
avatar
Bonjour

On appelle groupe dihédral d'indice $n$ un sous groupe de $O(\mathbb{R^{2}})$ formé des isométries linéaires qui laissent globalement invariant un polynôme régulier $P$ à $n$ sommets.

Si $D_{n}$ et $D_{n}'$ sont deux groupes diédraux d'indice $n$ alors il est facile de montrer qu'ils sont conjugués dans $O(\mathbb{R^{2}}$.

Je ne vois pas comment de manière immédiate et vous ?


Je suis l'élève vous êtes les profs. J'abandonne la quête du Callifa c'est up to no good.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a deux mois et a été effectuée par AD.
Re: Groupe diédral (aide à la rédaction)
il y a deux mois
avatar
Autre question. Si $\phi \in O(\mathbb{R^{2}})$ laissant globablement invariant $P$ et $r$ une rotation telle que $r(A_{1}) =\phi (A_{1})$ pourquoi cela entraine que $r = \phi$ ou $ \phi = r \circ s$ avec $s$ la symétrie orthogonale passant par la droite $OA_{1}$ ?

Merci pour votre aide :).


Je suis l'élève vous êtes les profs. J'abandonne la quête du Callifa c'est up to no good.



Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a deux mois et a été effectuée par AD.
Re: Groupe diédral (aide à la rédaction)
il y a deux mois
Il y a deux types d'isométries vectorielles dans le plan :
  • les rotations : une rotation $r$ est déterminée par un angle, disons $\theta$, et l'on a $\theta=(\widehat{\vec{OA},\vec{OA'}})$ où $A$ est un point quelconque et $A'=r(A)$) ; une rotation qui admet un point fixe autre que l'origine est donc l'identité ;
  • les réflexions : une réflexion $s$ est déterminées par la droite des points fixes ; si $A$ est fixe, la droite fixe de la réflexion est donc $(OA)$.
Re: Groupe diédral (aide à la rédaction)
il y a deux mois
avatar
Bonjour et merci Math Coss,

Je me rends compte que ça répond à la deuxième question ! En fait il y a un petit point laissé à l'étudiant : Votre assertion implique deux cas dont le deuxième est $r^{-1} \circ \phi = s$ avec $s$ une symétrie.

A priori ce n'est pas la symétrie par rapport à l'axe $OA_{1}$. Comment montrer que c'est effectivement le cas ?


Voici une piste qui n'a pas abouti :Mais comme $D_{n}$ est un groupe on sait que $s \in D_{n}$ il s'agit d'une symétrie qui laisse globalement invariant $P$.
Et là mon idée est toute simple pour avoir la symétrie par rapport à l'axe $OA_{1}$. Il suffit de multiplier par $r'$ une rotation de $D_{n}$ tel que $A_{s} = s(A_{1})$ vérifie $r'(A_{s})= A_{1}$ car dans ce cas $r'\circ s (A_{1}) = A_{1} $ ce qui implique que $s' = r'\circ s$ est la symétrie par rapport à l'axe $OA_{1}$.
Déjà on sait que $s'$ est une symétrie. Bon après un seul point fixe j'avoue c'est un peu léger pour la caractériser ça pourrait être une autre symétrie. Hum...


Je suis l'élève vous êtes les profs. J'abandonne la quête du Callifa c'est up to no good.
Re: Groupe diédral (aide à la rédaction)
il y a deux mois
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Attendez mais en fait vous donnez la réponse dans votre poste, je vais essayer de comprendre ça tout de suite.


Je suis l'élève vous êtes les profs. J'abandonne la quête du Callifa c'est up to no good.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a deux mois et a été effectuée par mini_calli.
Re: Groupe diédral (aide à la rédaction)
il y a deux mois
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Ca doit venir du fait qu'une symétrie a deux valeur propres $-1$ et $1$ donc pour la caractériser il suffit de connaitre les vecteurs propres en particulier les droites stables. Si $A_{1}$ est stable par la droite $D := OA_{1}$ constitue une premier sous espace propre. Et pour le second en fait c'est clair géométriquement et en plus on sait que
$$
s = 2p_{D} - id
$$
donc au final on avait juste besoin de $D$.


Je suis l'élève vous êtes les profs. J'abandonne la quête du Callifa c'est up to no good.
Re: Groupe diédral (aide à la rédaction)
il y a deux mois
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Soit $ r_{\theta}$ une rotation d'angle $\theta$ et d'axe $D$.

Comment on montre que si $g \in SO(\mathbb{R}^{3})$ alors $\
g r_{\theta} g^{-1}
\
$ est la rotation d'axe $g(D)$ et d'angle $\theta$ ? Le seul souci étant l'angle sinon l'énoncé est clair. Pour moi un angle entre deux vecteurs c'est le réel $\theta$ tel que
$$
\cos(\theta) = { x.y \over \|x \|\, \|y \| }
$$


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Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a deux mois et a été effectuée par AD.
Re: Groupe diédral (aide à la rédaction)
il y a deux mois
Ça ne va pas comme définition de « l'angle entre deux vecteurs » parce que ça ne permet pas de faire la différence entre l'angle $(u,v)$ et l'angle $(v,u)$. Confondre $\theta$ et $-\theta$, c'est confondre une rotation et son inverse, il faut l'éviter !
Re: Groupe diédral (aide à la rédaction)
il y a deux mois
avatar
En regardant un dessin, on comprend mieux.
(Servez-vous)



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a deux mois et a été effectuée par soland.


Re: Groupe diédral (aide à la rédaction)
il y a deux mois
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Autre dessin :


Re: Groupe diédral (aide à la rédaction)
il y a deux mois
avatar
Pas mal les petits dessins


Je suis l'élève vous êtes les profs. J'abandonne la quête du Callifa c'est up to no good.
Re: Groupe diédral (aide à la rédaction)
il y a deux mois
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Je n'ai pas d'autre définition d'angle peut être devrais-je laisser tomber cet énoncé.


Je suis l'élève vous êtes les profs. J'abandonne la quête du Callifa c'est up to no good.
Re: Groupe diédral (aide à la rédaction)
il y a deux mois
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Deux définitions qui tiennent la route :

(1) Trois points distincts $A$, $B$, $C$ déterminent un angle (géométrique) noté $\angle(ABC)$ de sommet $B$ .
Sa mesure est donnée par
$$
\mu(\angle(ABC)) := \arccos\left( \frac{|BA|^2+|BC|^2-|AC^2|}{2|BA||BC|} \right)
$$
Pas très "user-friendly", pas pour les petites têtes blondes mais, comme annoncé, ça tient la route.

(2) L'angle (orienté) de deux demi-droites de même extrémité $S$ , $Sa$ et $Sb$ , est celui de la rotation
qui amène $Sa$ sur $Sb$ .

On notera que la première définition tient en toute dimension, alors que la seconde ne fonctionne qu'en dimension 2 .

D'autres gens voient les choses différemment, Je pense qu'on les lira.

Référence : M. Berger, Géométrie, dans le deuxiéme tome je crois.
Re: Groupe diédral (aide à la rédaction)
il y a deux mois
avatar
J’ai trouvé un livre qui en parle


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Re: Groupe diédral (aide à la rédaction)
il y a deux mois
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Voici le sujet


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Re: Groupe diédral (aide à la rédaction)
il y a deux mois
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Il propose une caractérisation de l'angle mais je ne comprends pas d'où elle sort


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