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Construction d'un espace vectoriel

Envoyé par mehdi 
Construction d'un espace vectoriel
il y a cinq mois
Bonjour
1) Soit x un élément d'un ensemble quelconque A.
Est-ce qu'on peut construire (ou définir) un espace vectoriel engendré par x ?

2) Soit E et F deux espaces vectoriels quelconques.
Est-ce qu'on peut construire (ou définir) un espace vectoriel engendré par E et F tq :
sa restriction à E est égale à E avec mêmes lois que celles de E.
Et sa restriction à F est égale à F avec mêmes lois que celles de E ?

Merci beaucoup.



Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a cinq mois et a été effectuée par AD.
Re: Construction d'un espace vectoriel
il y a cinq mois
Bonjour,

Pour la première question: il faut pour cela définir un ensemble et les opérations qui vont avec. Du coup, sans plus d'information, ça n'a pas beaucoup de sens.
Pour la seconde, en considérant que ce sont deux $\mathbb{K}-$espace vectoriel ($\mathbb{K}$ un corps, le même pour les deux), il y a plusieurs moyens, j'en vois deux (je ne sais pas ce que tu veux faire exactement):

- Faire un produit cartésien, pour l'addition c'est comme dans les groupes, pour la multiplication, on fera $\forall(\lambda,x,y)\in \mathbb{R}\times E\times F: \lambda\cdot (x,y)=(\lambda\cdot x, \lambda \cdot y)$. Ça c'est toujours faisable sans se poser trop de question.
-Plus bizarre: considérer un espace dont deux sous-espaces (nommons les $A$ et $B$) sont isomorphes à $E$ et $F$ (pour l'intersection, tu te débrouilles, mais il faut au moins faire une identification entre $0_E$ et $0_F$) puis considérer $vect\{ A\cup B \}$

edit: je n'ai pas du tout fait attention dans le cas du produit cartésien, la réponse de Noname42 est juste, pas la mienne.
re-edit: réponse à Amathoué (sixième message de ce fil): En effet, c'est juste qu'en voyant la réponse de Noname, j'ai paniqué et je me suis dit que l'addition de $(x,y)$ et $(x',y')$ devait donner en général quelque chose de plus compliqué que $(x+x',y+y')$, mais en fait si, tout va bien.



Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a cinq mois et a été effectuée par Titi le curieux.
Re: Construction d'un espace vectoriel
il y a cinq mois
Bonjour,

1) Oui en définissant une loi interne et externe, c'est l'espace vectoriel trivial ( à condition que $x$ soit le neutre pour les lois choisies)
2) Oui sous certaines conditions (même "nature des éléments" de $E$ et $F$), c'est le $\text{Vect}(x, y)\mid (x, y) \in E×F$.



Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a cinq mois et a été effectuée par michael.
Re: Construction d'un espace vectoriel
il y a cinq mois
Soit $K$ un corps. On peut mettre une structure de $K$-espace vectoriel de dimension $1$ sur $E=(K \setminus \{1\}) \cup \{x\}$ de manière évidente, en faisant jouer à $x$ le rôle de $1$ dans la droite vectorielle $K$. Selon ces lois, $E$ est bien engendré par $x$. Bref, ce n'est qu'un jeu d'écriture.
Re: Construction d'un espace vectoriel
il y a cinq mois
Merci beaucoup,

Désolé, j'ai oublié une condition
J'ai rectifié l'énoncé dans mon premier message
Re: Construction d'un espace vectoriel
il y a cinq mois
avatar
Titi le curieux, qu’est-ce qui est faux dans ton produit cartésien? Réponse incomplète par rapport à la question posée, mais pas « fausse ».
Re: Construction d'un espace vectoriel
il y a cinq mois
Bonjour Mehdi.

Il y a un problème dans tes deux interventions, c'est l'utilisation du mot "engendré".
Ce mot a un sens dans une structure algébrique, où on peut parler de "sous-structure engendrée" (sev engendré, sous-groupe engendré, tribu engendrée, topologie engendrée,..). Mais le mot n'a pas de sens conventionnel dans l'absolu.
Par exemple, on ne dira pas que ({x},+,.) est un $\mathbb R$-espace vectoriel engendré par x, d'autant qu'il n'y a que x comme élément. Bien évidemment, les lois sont données par x+x=x et k.x=x.

Cordialement.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a cinq mois et a été effectuée par AD.
Re: Construction d'un espace vectoriel
il y a cinq mois
Merci gerard0

Je veux dire un espace contenant les deux.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a cinq mois et a été effectuée par AD.
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