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Diagonalisation en dimension infinie

Envoyé par topopot 
Diagonalisation en dimension infinie
il y a quatre mois
Bonjour,

Soient $E$ un $\K$-espace vectoriel de dimension quelconque (donc potentiellement nulle ou infinie) et $u$ un endomorphisme de $E$. On note $\mathrm{Sp}(u)$ le spectre de $u$ et pour tout $\lambda\in\K$, $E_{\lambda}(u):=\ker(u-\lambda\mathrm{Id}_E)$.

Avez-vous d'autres assertions équivalentes à celles-ci :
1) $E=\sum_{\lambda\in\mathrm{Sp}(u)}E_{\lambda}(u)$ ;
2) $E=\oplus_{\lambda\in\mathrm{Sp}(u)}E_{\lambda}(u)$ ;
3) il existe une base de $E$ formée de vecteurs propres de $u$ ;
4) il existe une famille $(F_i)_{i\in I}$ de sous-espaces $u$-stables de $E$ telle que :
  1. $\forall i\in I\quad \exists\lambda_i\in\K\quad u_{F_i}=\lambda_i\mathrm{Id}_{F_i}$,
  2. $E=\oplus_{i\in I}F_i$.

J'ai essayé de bricoler un truc avec des projecteurs mais je n'ai qu'une implications. Comme $E$ n'est pas forcément de dimension finie, on oublie ici les caractérisations avec les matrices ou les déterminants.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a quatre mois et a été effectuée par topopot.
Re: Diagonalisation en dimension infinie
il y a quatre mois
Bin t'as fait pas mal le tour de la question. Pour une de plus, tu peux retirer le "pour lambda parcourant Sp(u)" et le remplacer par "pour lambda parcourant tout l'univers grinning smiley "

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Re: Diagonalisation en dimension infinie
il y a quatre mois
La remarque de Christophe est tout à fait pertinente. On trouve souvent des énoncés faisant intervenir les espaces $E_{\lambda}(u)$, même en dimension finie, en précisant que $\lambda$ est valeur propre de $u$, mais il n'y a en général pas besoin de le faire, puisque ceux-ci sont "bénins" quand $\lambda$ n'est pas une telle valeur propre.
Re: Diagonalisation en dimension infinie
il y a quatre mois
Ah oui en effet je n'avais pas remarqué ça, merci !
Re: Diagonalisation en dimension infinie
il y a trois mois
Avez-vous des exemples d'endomorphismes non diagonalisables, toujours dans ce contexte "générique" de dimension non nécessairement finie (i.e. potentiellement infinie) ? Mes seuls exemples sont directement liés à la dimension finie via le cas matriciel.
Re: Diagonalisation en dimension infinie
il y a trois mois
Tu peux regarder l'opérateur de décalage $\delta$ sur $\mathbb C^{\mathbb N}$ défini par $\delta(x)_n = 0$ si $n=0$, $\delta(x)_n = x_{n-1}$ si $n \geq 1$.
Re: Diagonalisation en dimension infinie
il y a trois mois
Merci Poirot, je regarde !
Re: Diagonalisation en dimension infinie
il y a trois mois
Au cas où si quelqu'un passe, on montre que $\mathrm{Sp}(\delta)=\emptyset$ (par exemple par l'absurde, un éventuel vecteur propre serait nul) donc $\oplus_{\lambda\in\mathrm{Sp}(\delta)}=\{(0)_{n\in\N}\}\neq\C^{\N}$, d'où $\delta$ non diagonalisable.

@Poirot : comment as-tu eu l'idée cet exemple ?
Re: Diagonalisation en dimension infinie
il y a trois mois
C'est un exemple bien connu d'opérateur à spectre vide. Et bien que je ne m'en rappelais pas exactement, il est toujours bon de retenir que les différences entre le fini et l'infini est ce principe de décalage (cf. Hôtel de Hilbert). Je me suis basé sur cette idée.
Re: Diagonalisation en dimension infinie
il y a trois mois
Bonsoir,

$P\in \R[X]--> XP'$ ou plus généralement l'application qui à toute suite à valeurs réelles $u$ nulle à partir d'un certain rang associe (le machin qui contient ces suites est bien un espace vectoriel réel) la suite $xu$ où $x$ est une suite à valeurs réelles injective (par ex $x_n=n$ qui correspond à l'exemple précédent). NB $x$ n'est pas dans l'ev.
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