Un exo d'Ulm un peu tordu

On ne peut pas dire que j'ai une indication car je n'ai pas cherché jusqu'au bout, mais voici peut-être une idée.

On peut supposer que $n=4m$, quitte à tronquer la matrice. On essaye de montrer que les $m$ premières lignes sont linéairement indépendantes. Alors on met la matrice sous forme échelonnée. La première étape consiste à remplacer pour tout $i\geqslant 2$ la ligne $L_i$ par $L_i-a_{i1}L_1$. Les coefficients de la matrice $(a_{ij})_{i,j\geqslant 2}$ sont perturbés d'au plus $\frac{1}{4m}$. On continue... Et je ne sais pas si ça marche à la fin.

Edit : en fait je crois que ça ne mène à rien.

Ah pardon j'avais cru voir une valeur absolue là où il n'y en a pas. Donc ma tentative ne marche pas.

Je viens de regarder le corrigé dans la rms 129_3, exo 34 : elle est sans rapport apparent avec la mienne mais est, elle aussi, typiquement euclidienne (quoiqu'elle ne minore le rang que par $n/4$. Fi donc ! ;-))

La dimension d'un vecteur?

Le rang est une application "semi-continue inférieurement" (je ne sais jamais entre inf et sup :-D ) autrement dit, il ne peut pas baisser d'un coup. La preuve de ça, échelonne au sens où elle donne des $e_1,e_2,..$ à partir desquels en terme d'éloignement il peut baisser de $1$, de $2$, etc. Evidemment à $n$ fixé.

Je ne dis pas pour autant que ça va donner une preuve, mais JJ en a fourni une.

En complément (mais seulement à ce titre), si $A \in M_n(\mathbb{C})$ vérifie $\| A \|_{\textrm{F}} > 0$, alors
$$\textrm{rg} \, (A) \geqslant \frac{\left| \textrm{tr} (A) \right|^2}{\| A \|_{\textrm{F}}^2}$$
où $\| \dotsc \|_{\textrm{F}}$ est la norme de Frobenius. Avec les hypothèses de l'énoncé, on a sauf erreur
$$n \leqslant \| A \|_{\textrm{F}}^2 \leqslant 2n-1$$
de sorte que $\textrm{rg} \, (A) \geqslant \frac{1}{2}n$.

Edit. Correction effectuée après les messages de Lou16 et John_john plus bas, que je remercie.

Noix de totos, Side : avec ma méthode, j'arrive aussi à un peu mieux que $n/2$ avec les hypothèses de l'énoncé initial (dans mon calcul, $n/2$ correspond à l'hypothèse un peu plus générale de majoration en valeur absolue des coefficients par $1/\sqrt{n-1}$). En revanche, elle ne conduit pas à $2n/3$. Je vais réfléchir en outre à l'inégalité de NDT à titre d'exo.

Bonne soirée, j__j

Bonjour,

L'inégalité (que je ne connaissais pas) de Noix de Totos, est bien adaptée au problème initial mais donne, pour la matrice $A$ de ce dernier:
$$\mathrm {rg}(A)\geqslant \dfrac {n^2}{2n-1}\:\text{ et non }\:\mathrm {rg}(A)\geqslant \dfrac {2n^2}{3n-1}.$$Soit $A \in \mathcal M_n (\C), \:\: r= \mathrm {rg}(A).\:\:$ On a: $\:\: \ker A =\ker A^*A, \:\: r = \mathrm {rg}(A^*A).$
$\exists P \in \mathcal U_n(\C),\:\: A^*A =P \begin{pmatrix}D&0\\0&0 \end{pmatrix}P^*,\:\:\: D\in \mathrm {GL}_r(\C).\:\:\: \ker A =\ker A^*A,\:\:$ donc: $\: A =P \begin{pmatrix}B&0\\C&0 \end{pmatrix}P^*,\:\: B \in \mathrm {GL}_r (\C).$
Ainsi : $ \:\: A^*=P \begin{pmatrix}B^*&C^*\\0&0 \end{pmatrix}P^*, \:\:AA^*=P \begin{pmatrix}BB^*&BC^*\\CB^*&CC^*\end{pmatrix}P^*, \qquad \mathrm {Tr}(AA^*)=\mathrm {Tr} (BB^*)+ \mathrm {Tr}(CC^*) \quad (1).$
$|\mathrm{Tr}(A) |^2=|\mathrm{Tr}(B) |^2=\left|\displaystyle \sum _{i=1}^r b_{ii}\right| ^2\leqslant r \displaystyle \sum _{i=1} ^r |b_{ii}| ^2\leqslant r \mathrm{Tr}(BB^*)\leqslant r\left( \mathrm{Tr}(BB^*)+\mathrm{Tr}(CC^*) \right) \overset {(1)} = r\mathrm{Tr}(AA^*) = r \|A\|_F^2.$
$$\left|\mathrm {Tr}(A) \right| ^2 \leqslant \mathrm {rg}(A)\: \|A\|_F^2.$$

L'inégalité de Noix de Totos s'établit aussi facilement si l'on admet l'existence d'une décomposition polaire : on écrit en effet $A=US$, avec $U$ orthogonale (ou unitaire) et $S$ symétrique (ou hermitienne) positive. En outre, $A$ et $S$ ont la même norme de Frobenius et le même rang, et $|{\rm tr}\,A|$ est majorée par ${\rm tr}\,S$.

Yvette ne nous a toujours pas prouvé la torsion (sic !) de cet exercice !! au contraire, ces échanges sont intéressants, non ? Certes, on me dira que l'un n'empêche pas l'autre.

supp

Re
@Noix de Totos

Il m'a semblé que les conditions sur $A, \:\: a_{ii} = 1, \:\:i\neq j \implies |a_{ij} |\leqslant \dfrac 1{\sqrt n}$ donnaient bien :
$$\mathrm {Tr}(A) = n,\:\: \:\:\|A\|_F^2= \displaystyle \sum_{0\leqslant i,j\leqslant n} a_{ij}^2 \leqslant n +\dfrac {n(n-1)}n =2n-1 ,\:\: \:\:\:\mathrm {rg(A)} \geqslant \dfrac {n^2}{2n-1}.$$

Lou & John_John : OK.

Je ne sais pas ce que j'ai fait l'autre jour...

Side : c'est bon pour toi ?

Un démenti peut paradoxalement indiquer qu'il en fait en effet partie,

Eh bien, vois-tu, ces énoncés ne sont pas secrets ; ils sont même publiés par la rms, mais seulement depuis 1890. Tiens, justement, Piteux_gore (j'adore ce pseudo) s'est mis en devoir de faire ceux de 1912. En outre, puisqu'il est question de ces incunables, j'ai rédigé à la demande d'un collègue il y a un an un corrigé de l'épreuve de 6 heures d'Ulm 1891, dont l'énoncé fut publié à l'époque par la rms (un sujet sur les coniques, alors que l'épreuve de 4 heures traitait des coniques, mais en 4 heures seulement. Tant pis pour ceux qui avaient bossé trop longtemps les cubiques en spéciales).