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Base dans un espace de Hilbert

Envoyé par JulesMhz 
Base dans un espace de Hilbert
il y a trois mois
Bonjour

Pour un exercice d'application, j'ai 8 états d'un espace de Hilbert complexe $\C^4$, notés de $\Psi_1$ à $\Psi_8$, j'ai calculé tous les produits scalaires des $<\Psi_n\mid \Psi_m>$ pour chaque $n$ et $m$ dans $\{1,\ldots,8\}$, j'ai le tableau en ci-joint.

On me demande s'il y a un sous-espace de $\{\Psi_1,\ldots,\Psi_8\}$ formant des bases orthogonales ou orthonormales.

Mon feeling est qu'une base orthonormale doit répondre à la propriété suivante : $<e_k\mid e_j> = 0$, pour tout $k, j$ dans $B$, avec $k \neq j$, et que je vois qu'il y a 2 "carrés" de "0" dans mon tableau des produits scalaires calculés ce qui me met sur cette voie, cependant je ne suis pas tout à fait sûr, et je ne sais pas trop de quels états est constituée ma base, auriez-vous une aide à me fournir s'il vous plaît ?
Merci !



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a trois mois et a été effectuée par AD.


Re: Base dans un espace de Hilbert
il y a trois mois
Tu t'exprimes mal quand tu parles de "sous-espace de $\{\Psi_1, \dots, \Psi_8\}$". Ensuite quand tu dis base orthogonale ou orthonormale, il faut dire de quel espace on parle. Évidemment, n'importe lequel de tes $\Psi_i$ forme une base orthogonale de la droite qu'il engendre, et pour $4$ d'entre eux, une base orthonormale.

J'imagine que la question correcte est "existe-t-il une sous-famille de $\{\Psi_1, \dots, \Psi_8\}$ formant une base orthogonale ou orthonormale de $\mathbb C^4$ ? (Au passage la mention "espace de Hilbert est ici inutile...)

Tu peux regarder la famille $\{\Psi_1, \Psi_4, \Psi_5, \Psi_6\}$ par exemple.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a trois mois et a été effectuée par Poirot.
Re: Base dans un espace de Hilbert
il y a trois mois
Je suppose qu'il parle du $\mathbb{C}$-espace vectoriel engendré par les $\Psi_j$. Il faut faire du calcul matriciel. La matrice $M$ des coordonnées des $\Psi_j$ est écrite, il faut calculer $MM^T$ : soit calculer deux produits de matrices $4\times 4$.

Les mathématiques ne sont pas vraies, elles sont commodes.



Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a trois mois et a été effectuée par AlainLyon.
Re: Base dans un espace de Hilbert
il y a trois mois
Bonjour,

Merci beaucoup pour ta réponse !

Effectivement les termes que j'ai employé ne sont pas appropriés, désolé, c'est un peu nouveau pour moi confused smiley

La question correcte est efectivement "existe-t-il une sous-famille de {PSI1,…,PSI8} formant une base orthogonale ou orthonormale de C4"

Mais du coup je ne vois pas trop pourquoi la famille que tu donnes, est-ce parce que les autres ont des valeurs de produits scalaires différents de 1 ?

Merci !
Re: Base dans un espace de Hilbert
il y a trois mois
Il faut faire du calcul matriciel. La matrice $M$ des coordonnées des $\Psi_j$ est écrite, il faut calculer $MM^T$ : soit calculer deux produits de matrices $4\times 4$.

Les mathématiques ne sont pas vraies, elles sont commodes.
Re: Base dans un espace de Hilbert
il y a trois mois
Si $e_1,\dots, e_8$ est une base orthonormale alors quelle est la matrice du produit scalaire dans la base
$\Psi_1,\dots,\Psi_8$ et comment orthonormaliser cette derniere base? Que peut-on dire de l'application linéaire $e_i\mapsto\Psi_i$?



Edité 3 fois. La dernière correction date de il y a trois mois et a été effectuée par AlainLyon.
Re: Base dans un espace de Hilbert
il y a trois mois
Bonjour,

La matrice extraite 4,5,6 est $I_3$ donc 4 5 6 est une famille orthonormée. Psi 1 est de norme 1 et orthogonale à 4,5,6.
Donc 1456 est une bon.

Si c'est bien question ???



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a trois mois et a été effectuée par side.
Re: Base dans un espace de Hilbert
il y a trois mois
Appelons cette matrice $M_1$ quels sont ses valeurs propres et vecteurs propres?

Les mathématiques ne sont pas vraies, elles sont commodes.
Re: Base dans un espace de Hilbert
il y a trois mois
Quels sont les valeurs propres et vecteurs propres de la matrice symétrique $(<\Psi_i,\Psi_j>)_{i,j}$?
spinning smiley sticking its tongue out

Les mathématiques ne sont pas vraies, elles sont commodes.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a trois mois et a été effectuée par AlainLyon.
Re: Base dans un espace de Hilbert
il y a trois mois
La matrice symétrique $(<\Psi_i,\Psi_j>)_{i,j}$ est-elle diagonalisable?
spinning smiley sticking its tongue out
Re: Base dans un espace de Hilbert
il y a trois mois
Citation
JulesMhz
pourquoi la famille que tu donnes

Parce qu'elle fonctionne pardi, regarde les produits scalaires des différentes combinaisons possibles ! Pour le reste, je te suggère d'ignorer les messages d'AlainLyon.
Re: Base dans un espace de Hilbert
il y a trois mois
Il y a une erreur de calcul car la matrice des produits scalaires n'est pas symétrique!
Re: Base dans un espace de Hilbert
il y a trois mois
Bonjour,

Merci Poirot, j'ai bien compris :)
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