Vulgarisation schéma (géométrie algébrique)
Bonjour,
je vais faire un exposé prochainement à des matheux.ses mais certain.es d'entre eux ne savent que ce qu'est un schéma.
L'exposé n'est pas centré sur les schémas mais je les utilise un peu et donc j'aimerais juste introduire cette notion pour celles et ceux qui ne la connaissent pas, en faisant le lien avec les ensembles algébriques classiques, dans le sens "ensemble de zéros de polynômes".
En préparant mon exposé, je me suis retrouvé bloqué car je n'arrive pas à expliquer de manière simple, mais quand même avec une certaine rigueur, les schémas: en fait j'ai l'impression que soit je dit juste que ce sont une généralisation des variétés algébriques, soit je rentre trop dans les détails, et comme j'ai un temps fini (environ 50 min) pour faire cet exposé, je ne peux pas me permettre de passer trop de temps dessus.
Auriez-vous des idées de comment aborder la chose de manière rigoureuse mais sans rentrer dans tous les détails des définitions et de la théorie ? Ou peut-être avez-vous des références qui expliquent de manière concise ce qu'est un schéma ?
Merci d'avance !
je vais faire un exposé prochainement à des matheux.ses mais certain.es d'entre eux ne savent que ce qu'est un schéma.
L'exposé n'est pas centré sur les schémas mais je les utilise un peu et donc j'aimerais juste introduire cette notion pour celles et ceux qui ne la connaissent pas, en faisant le lien avec les ensembles algébriques classiques, dans le sens "ensemble de zéros de polynômes".
En préparant mon exposé, je me suis retrouvé bloqué car je n'arrive pas à expliquer de manière simple, mais quand même avec une certaine rigueur, les schémas: en fait j'ai l'impression que soit je dit juste que ce sont une généralisation des variétés algébriques, soit je rentre trop dans les détails, et comme j'ai un temps fini (environ 50 min) pour faire cet exposé, je ne peux pas me permettre de passer trop de temps dessus.
Auriez-vous des idées de comment aborder la chose de manière rigoureuse mais sans rentrer dans tous les détails des définitions et de la théorie ? Ou peut-être avez-vous des références qui expliquent de manière concise ce qu'est un schéma ?
Merci d'avance !
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Réponses
Tout le monde a une idée de ce qu’est grosso modo une variété algébrique. Même sur un corps non algébriquement clos. Meme sur Z. Ca veut pas dire que les subtilités sont claires pour tout le monde, mais sauf si y a une raison spécifique on peut faire « comme si ».
En fait je pensais leur dire quelque chose du style "à un sous-ensemble S de polynômes de $k[X_1,\cdots,X_n]$ j'associe $\{S(R) | R$ une $k$-algèbre$\}$ et c'est cet ensemble que j'appelle un schéma" avec $S(R)$ les solutions dans $R^n$ du système polynomial associé à $S$, tu vois ?
Mais j'aimerais rendre ce que j'ai écrit plus rigoureux mais sans que ce soit trop long à expliquer.
Alors, s'iels ne savent pas ce qu'est un schéma, il n'est pas certain que tu puisses employer le mot "foncteur" sans les perdre non plus, mais je pense que quelque chose comme "C'est comme une variété algébrique, sauf qu'au lieu de considérer uniquement les solutions de ces équations dans le corps $k$, on les considère dans toutes les $k$-algèbres, plus précisément on considère l'assignation $R\mapsto \{$ solutions dans $R\}$. Mais on peut quand même voir ça comme un objet géométrique, similaire à une variété algébrique" devrait être tout à fait suffisant/accessible.
Non ?
(tiens je fais comme Pablo :-D )
Mais ce que tu as écrit est PARFAITEMENT RIGOUREUX (à tel point que tu m'as appris en 5 secondes ce qu'est un schéma, ce dont je te remercie**).
Bon, c'est mieux d'utiliser des "mapsto", je te le récris.
A tout ensemble de polynômes $S$ on associe $[R\mapsto EnsDesSolutionsDeDans(S,R)]$
En leur rappelant qu'une solution dans $R$ de $S$ est une application de l'ensemble des inconnues dans $R$ qui les propriétés que tu sias énoncer.
** je voyais régulièrement ce mot défiler sur le forum mais flemme de googler "schéma". 3 secondes dans une vie, je te le dois. Une bière (ou autre) quand tu veux après le confinement
Mais tout schéma (localement de type fini sur $k$) ressemble localement à ça.
ignatus.
Le texte de David Madore est vraiment très bien. Il me semble que c'est flipflop le premier qui l'a mis en ligne. Connaîtriez-vous par hasard d'autres textes de vulgarisation de ce genre ?
ignatus.
Merci topalg pour le livre. Je vais regarder ça. Merci pour vos réponses !