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Racines complexes

Envoyé par Geffrard 
Racines complexes
il y a deux mois
Bonjour j’ai un petit problème je dois trouver les racines complexes du polynôme suivant

X8 + 20X4 + 64.

Je sais que je dois trouver 8 racines mais je n’arrive pas à les obtenir.
J’apprécierais vraiment votre aide.
Merci.



Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a deux mois et a été effectuée par AD.
Re: Racines complexes
il y a deux mois
avatar
$y:=x^4$



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a deux mois et a été effectuée par michael.
Re: Racines complexes
il y a deux mois
avatar
Un changement de variable de faciliterait peut-être la vie ?
Combien as-tu obtenu de racines pour le moment ?



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a deux mois et a été effectuée par michael.
Re: Racines complexes
il y a deux mois
j'ai fais un changement de variables en prenant x^4 =y ,et j’ai obtenue -4 et -16 donc (y+4)(y+16)
puis j’ai remplacée par (x^4 +4)(x^4 +16) et la encore j’ai refais un changement de variables en prenant p=x^2 .

Puis j’ai eu (p^2+4)p^2 +16)=0 ce qui donne p=+-racine(16) et p=+-racine(4)
et c’est la que je bloque..



Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a deux mois et a été effectuée par michael.
Re: Racines complexes
il y a deux mois
Bonjour,

> p=+-racine(16) et p=+-racine(4)

Non.

Cordialement,

Rescassol



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a deux mois et a été effectuée par michael.
Re: Racines complexes
il y a deux mois
Pouvez-vous m'éclairer svp



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a deux mois et a été effectuée par michael.
Dom
Re: Racines complexes
il y a deux mois
On a $Y^2+20Y+64=0$.

Ça donne quoi ?



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a deux mois et a été effectuée par Dom.
Re: Racines complexes
il y a deux mois
Dom écrivait : [www.les-mathematiques.net]
[Inutile de recopier un message présent sur le forum. Un lien suffit. AD]
-------------------------------------------------------

Si vous me demandez les racines j'ai trouvé -4 et -16



Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a deux mois et a été effectuée par AD.
Dom
Re: Racines complexes
il y a deux mois
J’ai « trouvé » winking smiley

Alors ensuite il suffit de résoudre $x^4=-4$ et de résoudre $x^4=-16$.
On ne trouve rien de positif ni même de réel normalement.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a deux mois et a été effectuée par Dom.
Re: Racines complexes
il y a deux mois
Dom écrivait : [www.les-mathematiques.net]
[Inutile de recopier un message présent sur le forum. Un lien suffit. AD]
-------------------------------------------------------

Merci pour ta patience
Donc ici j'ai utilisé y=x^2 et j'ai trouvé y=+-i racine(4) ou y=+-i racine(16).
Est-ce correct ?



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a deux mois et a été effectuée par AD.
Dom
Re: Racines complexes
il y a deux mois
Bon, on va écrire ça plus joliment.

y=\pm i \sqrt{4} $ \ \ \ \ $ (le pm donne $\pm$ et le \sqrt{4} donne $\sqrt{4}$ ).

mais il faut ajouter des dollars autour (un devant le code et un derrière le code), et ça donne ceci :

$y=\pm i \sqrt{4}$

Je suis d'accord pour cette résolution.
Une remarque : on peut écrire $\sqrt{4}$ plus simplement...
Re: Racines complexes
il y a deux mois
Merci je prends note.
Mais ici j'ai trouvé que quatre racines or je dois en trouver 8 pour mon polynôme.
je ne vois pas comment trouver les 4 autres.
Dom
Re: Racines complexes
il y a deux mois
Les dernières racines étaient des carrés (tu avais posé $y=x^2$).

$-i\sqrt{4}$ ; $i\sqrt{4}$ ; $-i\sqrt{16}$ ; $i\sqrt{16}$

Tu devrais en proposer une écriture plus simple.
Ces quatre solutions sont à « dédoubler » car ce sont les carrés des solutions qu’on cherche.

Une autre remarque :
Pour ne pas taper un code LateX, tu fais un clic droit dessus, puis Math as... et tu auras accès au code pour le copier puis le coller.
Re: Racines complexes
il y a deux mois
Merci beaucoup !!!
Re: Racines complexes
il y a deux mois
bonjour

ton équation s'écrit : $(x^4 + 8)^2 + 4x^4 = 0$ soit en factorisant :

$(x^4 + 2ix^2 + 8)(x^4 - 2ix^2 + 8) = 0$ soit encore :

$((x^2 + i)^2 + 9)(x^2 - i)^2 + 9) = 0$ et donc :

$(x^2 + 4i)(x^2 - 2i)(x^2 +2i)((x^2 - 2i) = 0$

et donc 8 racines complexes conjuguées 2 par 2

$x = + ou - \sqrt{2}(1 + ou - i)$

et $x = + ou - (1 + ou - i)$

cordialement
Re: Racines complexes
il y a deux mois
Bonsoir,

Jean Lismonde, plutôt que "$+ ou -$", utilise "\pm" pour obtenir "$\pm$".

Cordialement,

Rescassol
Re: Racines complexes
il y a deux mois
jean lismonde écrivait : [www.les-mathematiques.net]
[Inutile de recopier un message présent sur le forum. Un lien suffit. AD]
-------------------------------------------------------

Bonsoir je n'ai pas compris la factorisation à la deuxième ligne. Pourquoi a-t-on i dans l'équation ?



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a deux mois et a été effectuée par AD.
Dom
Re: Racines complexes
il y a deux mois
C’est le fameux $a^2-b^2$.
On ne l’a pas...

Mais on a $A^2+B^2$ qui s’écrit aussi $A^2-(iB)^2$.
Re: Racines complexes
il y a deux mois
Je n'ai lu qu'en plus encore négligemment qu'en diagonale, mais j'écris formellement un truc pour que tu l'aies en archive:

$$EnsDesSolutionsDeTonMachin = \{z\in \mathbb{C} \mid z^4\in \{x\in \mathbb{C} \mid x^2+20x+64=0\} \ \} $$

Compte-tenu des ravages que j'ai constatés chez les jeunes (que les vieux ne perçoivent pas) avec la mode humaine de "changement de variable", je ne pouvais pas me retenir.

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Re: Racines complexes
il y a deux mois
D'accord et pour trouver x à la fin, je dois passer par quelle forme ?
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