Dimension finie et infinie
Bonsoir,
Soit $F$ un sous-espace vectoriel de dimension finie. On suppose qu'il existe $n \in \N$ tel que $F=\K_n [X]$
Je n'arrive pas à comprendre la suite :
Si $F$ est de dimension infinie alors $\forall n \in \N$, $F$ n'est pas inclus dans $\K_n[X]$.
Je sais que c'est une histoire de logique et de négation mais je ne vois pas exactement comment faire.
Soit $F$ un sous-espace vectoriel de dimension finie. On suppose qu'il existe $n \in \N$ tel que $F=\K_n [X]$
Je n'arrive pas à comprendre la suite :
Si $F$ est de dimension infinie alors $\forall n \in \N$, $F$ n'est pas inclus dans $\K_n[X]$.
Je sais que c'est une histoire de logique et de négation mais je ne vois pas exactement comment faire.
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Réponses
Que vient faire $\K _n [X]$ qui semble arriver comme un cheveu sur la soupe ?
"Soit $x$ un réel postif. Si $x < 0$ alors je suis la reine d'Angleterre." est un raisonnement parfaitement correct.
Bon plus sérieusement, tu demandes vraiment pourquoi un espace de dimension infinie ne peut pas être contenu dans $\K_n[X]$ ?
En plus F est sous-espace mais on ne sait pas de qui.
Le passage qui me pose problème est celui surligné.
$\K_n[X]$ étant de dimension finie, il ne peut pas contenir de sous-espace vectoriel de dimension finie.
Heureusement que les sujets de la filière PC sont faciles (tu m'as fait rire avec cette réplique...désolé ^^).
***Troll mode off
En l'occurence, celui-là ne l'est pas (avec le théorème des 4 carrés et les considérations sur les quaternions à la fin du sujet).
Dans cette partie, j'ai réussi la moitié des questions. Je trouve que les deux dernières questions de cette partie sont délicates.
Je bloque sur la dernière question, je ne comprends pas pourquoi les sous-espaces stables sont les $(Ker(f^i))_{0 \leq i \leq n}$.
Je n'ai pas vraiment compris le rapport avec la question III.A.
Il n'y a pas d'explication sur les $\ker(f^i)$ je ne vois pas d'où ils sortent.
J'ai beau relire les questions, je ne vois pas dans quelle question on a déterminé les sous-espaces stables de $D_{\K_{n-1} [X]}$
Je ne vois pas comment en déduire les sous-espaces stables de $D_{\R_{n-1}} [X]$.
Comment ou fait pour les compter ? Et quel rapport avec le $\ker(f^i)$ ?
Que vaut $\ker(D^{17})$
Oshine : 2+1=1+2
O S attend comme d'habitude que d'autres pensent à sa place. Même à une question pour lycéen de première, il ne pense pas. A-t-il de la matière grise ????
@OS : $\ker(D)=\ker(D^2)=\cdots=\ker(D^n)=\ldots$
Comment en déduire qu'il y a $n+1$ sous-espaces stables et que ce sont les $(\ker(f^i))_{0 \leq i \leq n }$ :-S
Je n'ai toujours pas compris le rapport avec III.A.3 qui dit que les sous-espaces stables de $D$ sont $\{0 \}$, $\K_n[X]$ et $\K[X]$.
https://vivreparis.fr/le-saviez-vous-ce-nest-pas-la-seine-qui-coule-a-paris-mais-lyonne/
https://www.lyonne.fr/auxerre-89000/actualites/riviere-ou-fleuve-pourquoi-l-yonne-a-ete-detronee-par-la-seine_12727535/
Centrale PC maths 1 2015
Les sous-espaces stables recherchés sont les sous-espaces de $\K_{n-1} [X]$. Ce sont $\{0 \}$, $\K_{0} [X]$ etc $\K_{n-1} [X]$. Ils sont donc au nombre de $n+1$.
On remarque que $Ker(f^0)=Ker(Id)= \{0 \}$
Je crois qu'il faut montrer que $\forall i \in [|1,n |] \ Ker(f^i)= \R_{i-1} [X]$
Je dois calculer les puissances de la matrice $A_{n-1}$ ? Car je ne vois pas le lien direct avec $D$.
$D(1)=0$ donc la première colonne de $A_{n-1}$ est nulle donc$Ker \ f= Vect(1)= \R_0[X]$
$D^2(1)=D^2(X)=0$ donc les deux premières colonnes de $A_{n-1} ^2$ sont nulles donc $Ker(f^2)= Vect(1,X)=\R_1[X]$
$D^n(X^{n-1})= D^n(X^{n-2})= \cdots =D^n(1)=0$ donc $A_{n-1} ^n=0$ donc $Ker (f^n)= Vect(1,X,X^2, \cdots, X^{n-1}= \R_{n-1} [X]$
Dans la question III.A.3 on donc que les sous-espaces stables incluent les $\K_n[X]$ pour tout $n$ ce qui suppose qu'il y en a une infinité.
Pour tout t'avouer:
1/ Quand j'ai lu ton post, je n'avais strictement rien lu (et je ne dois pas être le seul, n'oublie pas qu'on est bénévole)
2/ J'ai fait des navettes scrollbar, mais au millieu, je n'ai rien compris
3/ Je suis donc "courageusement" remonté au 1er post. Rien compris
4/ J'ai finalement compris qu'il fallait voir un imprimé ici ----> http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,2193266,2193298#msg-2193298
que tu n'avais pas retranscrit fidélement
5/ Je l'ai parcrouru, allez on va dire 5 secondes, en gros, et oui je sais la réponse (et sans mérite).
6/ Après je peux bugguer, vu ma superficialité actuelle et ma presbytie. Disons que je pense que tu oublies qu'une famille libre de n éléments dans un espace de dimension n engendre FORCEMENT tout l'espace, mais allez on va dire que je peux me tromper. En tout cas, je n'ai tellement pas eu l'impression de te voir utiliser ce lemme (non trivial) en survolant ...
Un deuxième corrigé que je ne comprends pas non plus.
Je ne vois pas comment on passe de la question III.A.3 au $Vect((i-1)! f^{(n-i)} (u))_{1 \leq i \leq r}$. Quel lien entre la base où la matrice de $f$ est $A_{n-1}$ et la stabilité ?
Je ne comprends pas le rapport entre le $Vect( f^{n-i} (u))$ et noyau de $f^r$.
Pourquoi si on calcule $A_{n-1} ^r$, le noyau de $A^r$ qui apparaît ? C'est pas le noyau de $A_{n-1}^r$ qui apparaît ?
On ne sait pas trop ce que tu bricoles, mais ça devient un peu décourageant. Tu attires des gens à te répondre sur le fond, mais tu ne donnes guère de gages qu'on est d'accord toi et nous sur le jeu auquel on joue en faisant des maths.
Je te résume ton exo : si $K_n[X]$ contient un polynome $P$ de degré $n$, alors la suite $P,D(P),D(D(P)), ..$ est une famille libre de $K_n[X]$ contenant $n+1$ vecteurs, donc c'est $K_n[X]$ tout entier.
De manière générale, donc tout ev qui contient un polynôme de degré $n$ et stable par $D$ contient $K_n[X]$ tout entier, l'exo veut te faire rédiger des détails triviaux et une conlusion (disant que tout sev stable par $D$ est ou bien un des $K_n[X]$ ou bien $K[X]$ tout entier).
Je n'invente rien, c'est écrit dans le pdf que tu as posté, et c'est l'exo.
Il te répartit les questions suivantes, qui sont des petits détails techniques, comme suit:
- Montrer que $P,D(P),D(D(P)), ..$ est une famille libre de $K_n[X]$ contenant $n+1$ vecteurs
- faire un chti raisonnement pour le cas où un sev stable n'est inclus dans aucun $K_n[X]$
et comme c'est un exercice d'école, il n'oublie pas la punition de demander une matrice (qui n'a aucun intérêt)
Tout ceci devrait être évident pour toi si depuis 6 mois tu faisais l'effort de suivre mes conseils et les conseils d'autres t'indiquant de changer de méthodologie. Au lieu de ça, tu fais du surplace, non par manque de capacité mais par un entêtement INCROYABLE à continuer de rouler avec le frein, un frein puissant qui fait que le moteur fait du bruit, mais la voiture reste sur place. Et tu es content quand il y a beaucoup de bruit.
C'est très décourageant pour des bénévoles qui te conseillent. Il faut réellement que tu apprennes la part de solitude et d'intimité qui vont avec la recherche.
Le rapport du jury écrit : "Le lien avec la matrice $A_n$ n'est que très rarement utilisé correctement. Il l'est cependant dans les excellentes copies".
Tu es sûr que la matrice ne sert à rien ? Le rapport du jury en parle.
Bon je crois que j'ai enfin compris la logique. Ca demande beaucoup de travail quand même.
Soit $F$ un sous-espace stable par $f$. Soit $B=(e_1, \cdots, e_n)$ la base introduite à la question précédente. Soit $C=(1,X, \cdots, X^{n-1})$ une base de $\K_{n-1}[X]$.
Soit l'isomorphisme :$\varphi : E \longrightarrow K_{n-1} [X] \\ x=\displaystyle\sum_{k=1}^n a_i e_i \mapsto \displaystyle\sum_{k=1}^n a_k X^{k-1}$
Il est stable par $D$ aussi et d'après la question III.A.3 on a : $\varphi(F)=\{0 \}$ ou $\varphi(F)=K_p [X]$ avec $0 \leq p \leq n-1$.
$\varphi(F)=Vect(1,X, \cdots, X^{n-1})$ et $\varphi(e_i)= X^{i-1}$ donc en appliquant $\varphi^{-1}$ :
$\boxed{ F=\{0 \} \ \text{OU} \ F=Vect(e_1, \cdots, e_{p+1} ) \ \ 0 \leq p \leq n-1 }$
Réciproquement, ces sous-espaces sont stables par $f$ car $ \forall i \in [|2,n|] \ f(e_i)=(i-1) e_{i-1}$ et $f(e_1)=0$.
Par ailleurs, $e_i= (i-1)! f^{(n-i)} (u)$ alors on en déduit que les sous-espaces stables sont :
$\boxed{ F=\{0 \} \ \text{OU} \ F_k=Vect( f^{(n-1)} (u), \cdots, f^{(n-k)} (u) ) \ \ 1 \leq k \leq n }$
Il est clair que $F_0= \{0 \}=Ker(f^0)$ et $F_n = E=Ker(f^n)$.
Soit $x \in E$ alors $x=\displaystyle\sum_{i=1}^n a_i f^{(n-i)}(u)$
Soit $1 \leq k \leq n$.
Ensuite, soit $x \in Ker(f^k) \Leftrightarrow f^k(x)=0 \Leftrightarrow \displaystyle\sum_{i=k+1}^n a_i f^{(n+k-i)}(u)=0$
Or $\forall i \in [|k+1,n|] \ 1 \leq i-k \leq n-k \leq n-1$ mais la famille $(f^{n-j}(u))_{1 \leq j \leq n}$ est libre donc toute sous-famille aussi. Ainsi $ i \leq k+1 \implies a_i=0$
$\boxed{Ker(f^k)= \{ \displaystyle\sum_{i=1}^k a_i f^{(n-i)}(u) \ | a_i \in \K \} = Vect( f^{(n-1)} (u), \cdots, f^{(n-k)} (u) )}$
Tu parles de http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,2193266,2193532#msg-2193532
C'est le même exo où on te fait juste utiliser ce que tu as utilisé à celui d'avant sans l'illusion psychologique de connaitre un objet familier. Je te fais une image classe de 5e:
Partie A : prouver que $(174-56)(174+56) = 174^2-56^2$
Partie B : prouver que $(a-b)(a+b) = a^2-b^2$
On étudie l'application très simple $D$ et après on passe au cas général en réutilisant $D$.
Tu ferais mieux de récupérer la liste d'exercices que je t'avais donnée cet été, et de la terminer, tu avais loin d'avoir tout fait. Tu es borné idéologiquement, tu veux croire que mémoriser suffira et tu nous laisses t'engueuler en faisant le dos rond. Tu n'as pas de retour, de méditation sur ce que tu trouves (du coup peut-on humainement dire que quand "tu trouves", ça dépasse la simple écriture d'un post valide?)
Je t'ai moin ssuivi que d'autres, mais j'ai l'impression que tu ne fais que régresser et je pèse mes mots puisque je t'avais filé des exos que tu avais réussis et où aucun correction nulle part n'existait.
De toute façon ta méthodologie n'est pas bonne. D'ailleurs en un an tu as posté 7000 msg (j'en ai posté 45000 en 14ans, si tu continuais comme ça tu me dépasserais en nombre de posts dans 6ans sachant que j'ai posté au moins la moitié de mes 45000 posts en mode "politique" et que je suis de très loin le record du forum et que c'est une maladie chez moi. Donc tu vois ton état... :-S ).
Si tout ceci est vrai (et j'y crois de plus en plus) le but principal de OShine n'est pas de comprendre les maths qu'il étudie mais de réussir des exos (quitte à apprendre par cœur certains mécanismes). Mais les maths ça ne fonctionne pas comme ça et au lieu de se rapprocher de son but il fait du surplace...
Mais j'ai une bien meilleure compréhension des concepts que quand j'étais en prépa. Je pense avoir acquis les notions de famille libre, génératrice, base, matrice d'une application linéaire, plan vectoriel, droite vectorielle.
Je sais qu'apprendre des corrigés ne fait pas progresser dans les maths du supérieur car les exercices et sujets de concours sont toujours très différents.
[large]Mais P....N c'est pas une question de chapitres!!![/large]
Il faut que tu médites à changer énormément ta façon d'aborder ta formation. Démarche, temps, reméditations, libertés de penser, réflexions en se baladant dans la forêt, relation de l'intuitif à l'écrit final, etc.
Ce n'est pas très dur, mais quand on s'entête comme toi, ça devient compromis.
La continuité, dérivabilité je la vois dans ma tête.
Les idéaux, la base duale etc je ne visualise rien du tout. Ce sont des notions abstraites dont je connais la définition mais ça s'arrête là.