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Dimension finie et infinie

Envoyé par OShine 
Dimension finie et infinie
il y a deux mois
Bonsoir,

Soit $F$ un sous-espace vectoriel de dimension finie. On suppose qu'il existe $n \in \N$ tel que $F=\K_n [X]$

Je n'arrive pas à comprendre la suite :

Si $F$ est de dimension infinie alors $\forall n \in \N$, $F$ n'est pas inclus dans $\K_n[X]$.

Je sais que c'est une histoire de logique et de négation mais je ne vois pas exactement comment faire.
Dom
Re: Dimension finie et infinie
il y a deux mois
Je trouve la formulation bizarre.
Que vient faire $\K _n [X]$ qui semble arriver comme un cheveu sur la soupe ?
Re: Dimension finie et infinie
il y a deux mois
Encore un message sans queue ni tête. On commence par "Soit $F$ de dimension finie", et deux lignes plus bas "Si $F$ est de dimension infinie, alors...".

"Soit $x$ un réel postif. Si $x < 0$ alors je suis la reine d'Angleterre." est un raisonnement parfaitement correct.

Bon plus sérieusement, tu demandes vraiment pourquoi un espace de dimension infinie ne peut pas être contenu dans $\K_n[X]$ ?
Re: Dimension finie et infinie
il y a deux mois
avatar
Bonjour,
En plus F est sous-espace mais on ne sait pas de qui.
Dom
Re: Dimension finie et infinie
il y a deux mois
Faut-il mettre un billet sur « $F$ sous-espace vectoriel de $\K[X]$ » ?
Re: Dimension finie et infinie
il y a deux mois
Voici l'extrait.

Le passage qui me pose problème est celui surligné.


Re: Dimension finie et infinie
il y a deux mois
Bon oublie la quantification en $n$ et pose-toi sérieusement la question de pourquoi un sous-espace de $\K_n[X]$ ne peut pas être de dimension infinie, ce n'est pas bien compliqué à la fin !
Re: Dimension finie et infinie
il y a deux mois
Ah d'accord merci je viens de comprendre angry smiley

$\K_n[X]$ étant de dimension finie, il ne peut pas contenir de sous-espace vectoriel de dimension finie.



Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a deux mois et a été effectuée par OShine.
Re: Dimension finie et infinie
il y a deux mois
***Troll mode on :
Heureusement que les sujets de la filière PC sont faciles (tu m'as fait rire avec cette réplique...désolé ^^).
***Troll mode off

En l'occurence, celui-là ne l'est pas (avec le théorème des 4 carrés et les considérations sur les quaternions à la fin du sujet).
Re: Dimension finie et infinie
il y a deux mois
Je n'ai jamais dit qu'ils étaient faciles, j'ai dit qu'il y a avait des questions faciles par ci par là. Il y a aussi des questions difficiles.
Dans cette partie, j'ai réussi la moitié des questions. Je trouve que les deux dernières questions de cette partie sont délicates.
Je bloque sur la dernière question, je ne comprends pas pourquoi les sous-espaces stables sont les $(Ker(f^i))_{0 \leq i \leq n}$.
Je n'ai pas vraiment compris le rapport avec la question III.A.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a deux mois et a été effectuée par AD.


Re: Dimension finie et infinie
il y a deux mois
C'est pourtant écrit, il suffit de lire chaque mot de la phrase les uns après les autres pour former le sens dans ta tête.
Re: Dimension finie et infinie
il y a deux mois
Je ne comprends pas comment on trouve les sous-espaces stables de la restriction de $D$ à $\K_{n-1}[X]$



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a deux mois et a été effectuée par AD.
Re: Dimension finie et infinie
il y a deux mois
Arrête de demander de l'aide 5 minutes et réfléchis, tout est écrit dans ton corrigé.
Re: Dimension finie et infinie
il y a deux mois
Je suis bloqué depuis hier soir.

Il n'y a pas d'explication sur les $\ker(f^i)$ je ne vois pas d'où ils sortent.

J'ai beau relire les questions, je ne vois pas dans quelle question on a déterminé les sous-espaces stables de $D_{\K_{n-1} [X]}$



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a deux mois et a été effectuée par AD.
Re: Dimension finie et infinie
il y a deux mois
III.A.3)
Re: Dimension finie et infinie
il y a deux mois
Le sous-espaces de $\K|X]$ stables par $D$ sont $\{0 \}$, $\K[X]$ et $\K_n [X]$ pour tout $n$.

Je ne vois pas comment en déduire les sous-espaces stables de $D_{\R_{n-1}} [X]$.
Re: Dimension finie et infinie
il y a deux mois
C'est pourtant évident, écris.
Re: Dimension finie et infinie
il y a deux mois
Je ne sais pas quoi écrire je n'ai pas compris.
Re: Dimension finie et infinie
il y a deux mois
Soit $F$ un sous-espace de $\K_{n-1}[X]$ stable par $D_{\K_{n-1}[X]}$. Comme $\K_{n-1}[X]$ est lui-même stable par $D$, $F$ est un sous-espace de $\K[X]$ stable par $D$...
Re: Dimension finie et infinie
il y a deux mois
Je suis d'accord mais j'ai du mal à comprendre pourquoi ça répond à la question.

Comment ou fait pour les compter ? Et quel rapport avec le $\ker(f^i)$ ?



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a deux mois et a été effectuée par AD.
Re: Dimension finie et infinie
il y a deux mois
On reprend l'endomorphisme $D$ de départ.
Que vaut $\ker(D^{17})$



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a deux mois et a été effectuée par AD.
Re: Dimension finie et infinie
il y a deux mois
$\ker(D^{17})= \{ P \in \R[X] \mid P^{(17)} =0 \}$.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a deux mois et a été effectuée par AD.
Re: Dimension finie et infinie
il y a deux mois
Que vaut 2+1=?

Oshine : 2+1=1+2
Re: Dimension finie et infinie
il y a deux mois
Aucune réflexion personnelle !
O S attend comme d'habitude que d'autres pensent à sa place. Même à une question pour lycéen de première, il ne pense pas. A-t-il de la matière grise ????
Re: Dimension finie et infinie
il y a deux mois
Visiblement noobey, tu as été trop exigeant, Baby steps !

@OS : $\ker(D)=\ker(D^2)=\cdots=\ker(D^n)=\ldots$



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a deux mois et a été effectuée par AD.
Re: Dimension finie et infinie
il y a deux mois
On a : $\ker D^{(17)} = \R_{16} [X]$.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a deux mois et a été effectuée par AD.
Re: Dimension finie et infinie
il y a deux mois
Un sous-espace de $\K_{n-1}[X]$ est stable par $D$ d'après la remarque de Poirot.

Comment en déduire qu'il y a $n+1$ sous-espaces stables et que ce sont les $(\ker(f^i))_{0 \leq i \leq n }$ confused smiley

Je n'ai toujours pas compris le rapport avec III.A.3 qui dit que les sous-espaces stables de $D$ sont $\{0 \}$, $\K_n[X]$ et $\K[X]$.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a deux mois et a été effectuée par AD.
Re: Dimension finie et infinie
il y a deux mois
Citation
Apollinaire
Passent les jours et passent les semaines
Ni temps passé
Ni les amours reviennent
Sous le pont Mirabeau coule la Seine
Et sous le pont de Mirabeau coule la Durance. [fr.wikipedia.org]



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a deux mois et a été effectuée par AD.
Re: Dimension finie et infinie
il y a deux mois
Je suis toujours bloqué sur cette question sad smiley
Re: Dimension finie et infinie
il y a deux mois
C'est le premier tatouage qui est dur. Après ça va tout seul, t'inquiète.

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Re: Dimension finie et infinie
il y a deux mois
avatar
Sous le pont Mirabeau coule l'Yonne
[vivreparis.fr]
[www.lyonne.fr]



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a deux mois et a été effectuée par Chaurien.
Re: Dimension finie et infinie
il y a deux mois
avatar
Question rituelle : quelle est la référence du problème dont il est question ici ?
Re: Dimension finie et infinie
il y a deux mois
Christophe c tu sais la réponse toi ?
Re: Dimension finie et infinie
il y a deux mois
Re: Dimension finie et infinie
il y a deux mois
Je crois que j'ai enfin compris l'explication de Poirot !

Les sous-espaces stables recherchés sont les sous-espaces de $\K_{n-1} [X]$. Ce sont $\{0 \}$, $\K_{0} [X]$ etc $\K_{n-1} [X]$. Ils sont donc au nombre de $n+1$.

On remarque que $Ker(f^0)=Ker(Id)= \{0 \}$

Je crois qu'il faut montrer que $\forall i \in [|1,n |] \ Ker(f^i)= \R_{i-1} [X]$

Je dois calculer les puissances de la matrice $A_{n-1}$ ? Car je ne vois pas le lien direct avec $D$.
Re: Dimension finie et infinie
il y a deux mois
Je ne suis pas sûr mais je pense avoir trouvé la solution.

$D(1)=0$ donc la première colonne de $A_{n-1}$ est nulle donc$Ker \ f= Vect(1)= \R_0[X]$

$D^2(1)=D^2(X)=0$ donc les deux premières colonnes de $A_{n-1} ^2$ sont nulles donc $Ker(f^2)= Vect(1,X)=\R_1[X]$

$D^n(X^{n-1})= D^n(X^{n-2})= \cdots =D^n(1)=0$ donc $A_{n-1} ^n=0$ donc $Ker (f^n)= Vect(1,X,X^2, \cdots, X^{n-1}= \R_{n-1} [X]$
Re: Dimension finie et infinie
il y a deux mois
avatar
Merci pour la référence.
Re: Dimension finie et infinie
il y a deux mois
Je ne suis pas sûr d'avoir compris.

Dans la question III.A.3 on donc que les sous-espaces stables incluent les $\K_n[X]$ pour tout $n$ ce qui suppose qu'il y en a une infinité.
Re: Dimension finie et infinie
il y a deux mois
Citation
OS
Christophe c tu sais la réponse toi ?

Pour tout t'avouer:

1/ Quand j'ai lu ton post, je n'avais strictement rien lu (et je ne dois pas être le seul, n'oublie pas qu'on est bénévole)

2/ J'ai fait des navettes scrollbar, mais au millieu, je n'ai rien compris

3/ Je suis donc "courageusement" remonté au 1er post. Rien compris

4/ J'ai finalement compris qu'il fallait voir un imprimé ici ----> [www.les-mathematiques.net]

que tu n'avais pas retranscrit fidélement

5/ Je l'ai parcrouru, allez on va dire 5 secondes, en gros, et oui je sais la réponse (et sans mérite).

6/ Après je peux bugguer, vu ma superficialité actuelle et ma presbytie. Disons que je pense que tu oublies qu'une famille libre de n éléments dans un espace de dimension n engendre FORCEMENT tout l'espace, mais allez on va dire que je peux me tromper. En tout cas, je n'ai tellement pas eu l'impression de te voir utiliser ce lemme (non trivial) en survolant ...

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Re: Dimension finie et infinie
il y a deux mois
Je n'arrive pas à faire le lien entre stabilité, l'endomorphisme $f$, $\R_n[X]$, les différentes bases utilisées.

Un deuxième corrigé que je ne comprends pas non plus.

Je ne vois pas comment on passe de la question III.A.3 au $Vect((i-1)! f^{(n-i)} (u))_{1 \leq i \leq r}$. Quel lien entre la base où la matrice de $f$ est $A_{n-1}$ et la stabilité ?

Je ne comprends pas le rapport entre le $Vect( f^{n-i} (u))$ et noyau de $f^r$.

Pourquoi si on calcule $A_{n-1} ^r$, le noyau de $A^r$ qui apparaît ? C'est pas le noyau de $A_{n-1}^r$ qui apparaît ?



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a deux mois et a été effectuée par OShine.


Re: Dimension finie et infinie
il y a deux mois
J'ai toujours défendu l'absence de corrigé. Mais la rencontre avec toi m'aura plus que conforté dans mon idéologie !!

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Re: Dimension finie et infinie
il y a deux mois
Polynôme caractéristique en dimension infinie, jamais entendu parler.

"C'est en forgeant que l'on devient forgeron"
Re: Dimension finie et infinie
il y a deux mois
@OS : pourquoi tui ne fais pas tout simplement des maths? C'est à dire jouer autour de la notion de DEDUCTION.

On ne sait pas trop ce que tu bricoles, mais ça devient un peu décourageant. Tu attires des gens à te répondre sur le fond, mais tu ne donnes guère de gages qu'on est d'accord toi et nous sur le jeu auquel on joue en faisant des maths.


Je te résume ton exo : si $K_n[X]$ contient un polynome $P$ de degré $n$, alors la suite $P,D(P),D(D(P)), ..$ est une famille libre de $K_n[X]$ contenant $n+1$ vecteurs, donc c'est $K_n[X]$ tout entier.

De manière générale, donc tout ev qui contient un polynôme de degré $n$ et stable par $D$ contient $K_n[X]$ tout entier, l'exo veut te faire rédiger des détails triviaux et une conlusion (disant que tout sev stable par $D$ est ou bien un des $K_n[X]$ ou bien $K[X]$ tout entier).

Je n'invente rien, c'est écrit dans le pdf que tu as posté, et c'est l'exo.

Il te répartit les questions suivantes, qui sont des petits détails techniques, comme suit:

- Montrer que $P,D(P),D(D(P)), ..$ est une famille libre de $K_n[X]$ contenant $n+1$ vecteurs
- faire un chti raisonnement pour le cas où un sev stable n'est inclus dans aucun $K_n[X]$

et comme c'est un exercice d'école, il n'oublie pas la punition de demander une matrice (qui n'a aucun intérêt)


Tout ceci devrait être évident pour toi si depuis 6 mois tu faisais l'effort de suivre mes conseils et les conseils d'autres t'indiquant de changer de méthodologie. Au lieu de ça, tu fais du surplace, non par manque de capacité mais par un entêtement INCROYABLE à continuer de rouler avec le frein, un frein puissant qui fait que le moteur fait du bruit, mais la voiture reste sur place. Et tu es content quand il y a beaucoup de bruit.

C'est très décourageant pour des bénévoles qui te conseillent. Il faut réellement que tu apprennes la part de solitude et d'intimité qui vont avec la recherche.

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Re: Dimension finie et infinie
il y a deux mois
Christophe le premier corrigé que j'ai montré ne démontre rien. Il a été rédigé par un ancien ENS. Pour lui c'est évident mais dommage de ne pas l'expliquer correctement.

Le rapport du jury écrit : "Le lien avec la matrice $A_n$ n'est que très rarement utilisé correctement. Il l'est cependant dans les excellentes copies".

Tu es sûr que la matrice ne sert à rien ? Le rapport du jury en parle.

Bon je crois que j'ai enfin compris la logique. Ca demande beaucoup de travail quand même.

Soit $F$ un sous-espace stable par $f$. Soit $B=(e_1, \cdots, e_n)$ la base introduite à la question précédente. Soit $C=(1,X, \cdots, X^{n-1})$ une base de $\K_{n-1}[X]$.

Soit l'isomorphisme :$\varphi : E \longrightarrow K_{n-1} [X] \\ x=\displaystyle\sum_{k=1}^n a_i e_i \mapsto \displaystyle\sum_{k=1}^n a_k X^{k-1}$

Il est stable par $D$ aussi et d'après la question III.A.3 on a : $\varphi(F)=\{0 \}$ ou $\varphi(F)=K_p [X]$ avec $0 \leq p \leq n-1$.

$\varphi(F)=Vect(1,X, \cdots, X^{n-1})$ et $\varphi(e_i)= X^{i-1}$ donc en appliquant $\varphi^{-1}$ :

$\boxed{ F=\{0 \} \ \text{OU} \ F=Vect(e_1, \cdots, e_{p+1} ) \ \ 0 \leq p \leq n-1 }$

Réciproquement, ces sous-espaces sont stables par $f$ car $ \forall i \in [|2,n|] \ f(e_i)=(i-1) e_{i-1}$ et $f(e_1)=0$.

Par ailleurs, $e_i= (i-1)! f^{(n-i)} (u)$ alors on en déduit que les sous-espaces stables sont :

$\boxed{ F=\{0 \} \ \text{OU} \ F_k=Vect( f^{(n-1)} (u), \cdots, f^{(n-k)} (u) ) \ \ 1 \leq k \leq n }$

Il est clair que $F_0= \{0 \}=Ker(f^0)$ et $F_n = E=Ker(f^n)$.

Soit $x \in E$ alors $x=\displaystyle\sum_{i=1}^n a_i f^{(n-i)}(u)$

Soit $1 \leq k \leq n$.

Ensuite, soit $x \in Ker(f^k) \Leftrightarrow f^k(x)=0 \Leftrightarrow \displaystyle\sum_{i=k+1}^n a_i f^{(n+k-i)}(u)=0$

Or $\forall i \in [|k+1,n|] \ 1 \leq i-k \leq n-k \leq n-1$ mais la famille $(f^{n-j}(u))_{1 \leq j \leq n}$ est libre donc toute sous-famille aussi. Ainsi $ i \leq k+1 \implies a_i=0$

$\boxed{Ker(f^k)= \{ \displaystyle\sum_{i=1}^k a_i f^{(n-i)}(u) \ | a_i \in \K \} = Vect( f^{(n-1)} (u), \cdots, f^{(n-k)} (u) )}$



Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a deux mois et a été effectuée par OShine.
Re: Dimension finie et infinie
il y a deux mois
Je n'avais pas vu que tu parlais d'un autre exercice et apparemment ... toi non plus

Tu parles de [www.les-mathematiques.net]

C'est le même exo où on te fait juste utiliser ce que tu as utilisé à celui d'avant sans l'illusion psychologique de connaitre un objet familier. Je te fais une image classe de 5e:

Partie A : prouver que $(174-56)(174+56) = 174^2-56^2$

Partie B : prouver que $(a-b)(a+b) = a^2-b^2$


Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Re: Dimension finie et infinie
il y a deux mois
Oui Christophe je vois le principe.

On étudie l'application très simple $D$ et après on passe au cas général en réutilisant $D$.
Re: Dimension finie et infinie
il y a deux mois
Je te répondu "avec brutalité" sur un autre fil, mais franchement, je ne sais pas ce que tu fabriques. Ni ce que "tu vois" quand tu dis "je vois", et c'est général.

Tu ferais mieux de récupérer la liste d'exercices que je t'avais donnée cet été, et de la terminer, tu avais loin d'avoir tout fait. Tu es borné idéologiquement, tu veux croire que mémoriser suffira et tu nous laisses t'engueuler en faisant le dos rond. Tu n'as pas de retour, de méditation sur ce que tu trouves (du coup peut-on humainement dire que quand "tu trouves", ça dépasse la simple écriture d'un post valide?)

Je t'ai moin ssuivi que d'autres, mais j'ai l'impression que tu ne fais que régresser et je pèse mes mots puisque je t'avais filé des exos que tu avais réussis et où aucun correction nulle part n'existait.

De toute façon ta méthodologie n'est pas bonne. D'ailleurs en un an tu as posté 7000 msg (j'en ai posté 45000 en 14ans, si tu continuais comme ça tu me dépasserais en nombre de posts dans 6ans sachant que j'ai posté au moins la moitié de mes 45000 posts en mode "politique" et que je suis de très loin le record du forum et que c'est une maladie chez moi. Donc tu vois ton état... confused smiley ).

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Re: Dimension finie et infinie
il y a deux mois
avatar
Question de psychanalyser OShine je crois qu'un intervenant du forum avait dit il y a quelques temps que si OShine procédait de la sorte c'était parce qu' il avait été traumatisé d'avoir loupé sa prépa et que de réussir l'agreg ou je ne sais quoi serait une revanche.

Si tout ceci est vrai (et j'y crois de plus en plus) le but principal de OShine n'est pas de comprendre les maths qu'il étudie mais de réussir des exos (quitte à apprendre par cœur certains mécanismes). Mais les maths ça ne fonctionne pas comme ça et au lieu de se rapprocher de son but il fait du surplace...
Re: Dimension finie et infinie
il y a deux mois
Raoul.S non mon but c'est de comprendre en profondeur les notions. En me frottant à des sujets Centrale, je découvre que j'ai encore des lacunes en algèbre.

Mais j'ai une bien meilleure compréhension des concepts que quand j'étais en prépa. Je pense avoir acquis les notions de famille libre, génératrice, base, matrice d'une application linéaire, plan vectoriel, droite vectorielle.

Je sais qu'apprendre des corrigés ne fait pas progresser dans les maths du supérieur car les exercices et sujets de concours sont toujours très différents.
Re: Dimension finie et infinie
il y a deux mois
Tu ne veux pas comprendre ce que je (on?) te dit:

Citation
OS
que j'ai encore des lacunes en algèbre.

Mais P....N c'est pas une question de chapitres!!!

Il faut que tu médites à changer énormément ta façon d'aborder ta formation. Démarche, temps, reméditations, libertés de penser, réflexions en se baladant dans la forêt, relation de l'intuitif à l'écrit final, etc.

Ce n'est pas très dur, mais quand on s'entête comme toi, ça devient compromis.

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
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