Trajectoires rectilignes et planes
Bonsoir,
Je suis bloqué à la dernière question car je ne sais pas ce que c'est une trajectoire rectiligne et plane en langage mathématique.
Pour la question IV.F.1 je trouve $T=\begin{pmatrix} -1 & 2 & 0 \\ -2 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$, $G=Vect(1,0,1)$ et $F=Vect \{ (2,1,-1),(0,-1,-1) \}$
La question IV.F.2 je trouve $\boxed{X(t)= e^t U}$
Pour la question IV.F3 très calculatoire j'ai trouvé :
$\boxed{\begin{cases}
x(t)=e^{-t} \left( a \cos \ 2t+b \sin \ 2t \right) \\
y(t)=e^{-t} \left(b \cos \ 2t -a \sin \ 2t \right)
\end{cases}}$
Le début de la dernière question :
On pose $Y=P^{-1} X$. Donc $Y'=P^{-1} X'=P^{-1} AX=P^{-1} APY=TY$
Donc en utilisant la matrice $T$ obtenue précédemment on a :
$\begin{cases}
y_1 '(t)=-y_1+2y_2 \\
y_2 '(t)=-2y_1+y_2\\
y_3 '(t)=y_3
\end{cases}$
$\boxed{\exists (a,b,c) \in \R^3 \ \begin{cases}
y_1=e^{-t} ( a \cos \ 2t+b \sin \ 2t) \\
y_2 =e^{-t} (b \cos \ 2t -a \sin \ 2t ) \\
y_3 =c e^{t}
\end{cases}}$
Je suis bloqué à la dernière question car je ne sais pas ce que c'est une trajectoire rectiligne et plane en langage mathématique.
Pour la question IV.F.1 je trouve $T=\begin{pmatrix} -1 & 2 & 0 \\ -2 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$, $G=Vect(1,0,1)$ et $F=Vect \{ (2,1,-1),(0,-1,-1) \}$
La question IV.F.2 je trouve $\boxed{X(t)= e^t U}$
Pour la question IV.F3 très calculatoire j'ai trouvé :
$\boxed{\begin{cases}
x(t)=e^{-t} \left( a \cos \ 2t+b \sin \ 2t \right) \\
y(t)=e^{-t} \left(b \cos \ 2t -a \sin \ 2t \right)
\end{cases}}$
Le début de la dernière question :
On pose $Y=P^{-1} X$. Donc $Y'=P^{-1} X'=P^{-1} AX=P^{-1} APY=TY$
Donc en utilisant la matrice $T$ obtenue précédemment on a :
$\begin{cases}
y_1 '(t)=-y_1+2y_2 \\
y_2 '(t)=-2y_1+y_2\\
y_3 '(t)=y_3
\end{cases}$
$\boxed{\exists (a,b,c) \in \R^3 \ \begin{cases}
y_1=e^{-t} ( a \cos \ 2t+b \sin \ 2t) \\
y_2 =e^{-t} (b \cos \ 2t -a \sin \ 2t ) \\
y_3 =c e^{t}
\end{cases}}$
Réponses
-
Bonjour
Commence par justifier ta réponse à IV.F. 2 !! (qui est fausse) -
On a $U=\begin{pmatrix}
1 \\ 0 \\ 1
\end{pmatrix}$ et $AU=U$. $U$ est le vecteur propre de $A$ associé à la valeur propre $1$.
Si on pose $X(t)=e^t U$ alors $X'(t)= e^t U= e^t AU=A(e^t U)=A X(t)$
$X(0)=U$ donc $X$ est solution. -
Non $U\in G$ !!!
-
Oui tu as raison merci. On a : $G=Vect(1,0,1)$.
Donc on peut écrire $U=\begin{pmatrix} u_0 \\ 0 \\ u_0 \end{pmatrix}$ avec $u_0 \in \R$.
Posons $X(t)=\begin{pmatrix} x(t) \\ 0 \\ x(t) \end{pmatrix}$ alors $X'(t)=\begin{pmatrix} x'(t) \\ 0 \\ x'(t) \end{pmatrix}$.
Comme $X(t) \in G$, on a $AX(t)=X(t)$ donc $x'(t)=x(t)$ et finalement l'unique solution est :
$\boxed{X(t)=\begin{pmatrix} u_0 e^t \\ 0 \\ u_0 e^t \end{pmatrix}}$
Voici le rapport du jury, il semble que cette partie a posé beaucoup de problèmes aux candidats.
. -
Le plus correct est de dire que tu avais mal recopié la définition de F et G.
-
Oui j'avais fait une erreur je l'ai corrigée.
Pour la trajectoire rectiligne la condition nécessaire et suffisante est $a=b=0$ non ?
Pour la trajectoire plane je dirais $c=0$ -
Heu! c'est quoi a,b,c? Suis-je obligé de deviner car je ne vois nulle part où c'est défini. ?
Et puis c'est à toi de faire le travail. Car si je dois répondre oui c'est ça, ou bien non ce n'est pas ça, cela m'oblige à prendre un stylo et faire les calculs.
Alors sors de ta paresse habituelle et commence à raisonner.
C'est-à-dire que tu supposes que la trajectoire est rectiligne.
C'est-à-dire blabla ... -
Trajectoire rectiligne : l'image de la solution est contenue dans une droite.
Trajectoire plane : ...
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Bonjour!
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