Existence d'une unique application linéaire

OShine
OShine
dans Algèbre
Bonsoir,

Je ne comprends pas pourquoi $\psi$ est unique, ni pourquoi elle envoie $B_E$ sur $B$ ni pourquoi on a la relation $f=\psi ^{-1} \circ D \circ \psi$.119600

Réponses

  • Zgrb
    Zgrb
    Pourquoi $\psi$ envoie $B_E$ sur $B$ ? Bien c'est nous qui choisissons cela ! Qu'est ce qu'est $\psi$ du coup ?
    Et cette formule ne te dit rien ?
  • OShine
    OShine
    D'accord merci.

    Ça ressemble à un changement de base, mais le problème est que dans le cours que j'ai étudié le changement de base n'a été abordé que matriciellement.
    L'endomorphisme canoniquement associé à une matrice de passage est l'identité.

    Soient $B$ et $B_E$ deux bases. Et $A'=Mat_{B_E} (f)$ et $A=Mat_{B} (D)$

    On a $A'= P^{-1} A P$ avec $P=Mat_{B}^{B_E}$

    On a donc $f= \psi ^{-1} D \psi$

    Il me reste une question pourquoi $\psi$ est unique ?
  • Zgrb
    Zgrb
    Je te répète ma question : Qu'est ce qu'est $\psi$ du coup ?
  • Chalk
    Chalk
    Tu n'as donc toujours pas compris qu'une application linéaire était uniquement déterminée par sa valeur prise sur une base ... Fais gaffe, quand tu donneras des khôlles, même en début de sup, ça va finir par se voir que tu n'as pas le niveau.
  • bisam
    bisam
    Oshine : il y a un théorème dans le cours de MPSI (et de PCSI) qui affirme :Si $B=(b_1,\dots,b_n)$ est une base de $E$ et $Y=(y_1,\dots,y_n)$ une famille de vecteurs de $F$ alors il existe une unique application linéaire $u$ de $E$ dans $F$ telle que $\forall i\in\{1,\dots,n\}, u(b_i)=y_i$.
    Bon, ben, c'est une application immédiate de ce théorème.
  • Bbidule
    Bbidule
    Oshine a écrit:
    L'endomorphisme canoniquement associé à une matrice de passage est l'identité.
    euh...
  • christophe c
    christophe c
    Preuve du théorème de bisam:

    Soient $u,v$ vérifiant $\forall i: u(e_i)=v(e_i)=Toto_i$.

    Soit $w$ un vecteur et des $x_i$ tels que $w= \sum_i \ x_ie_i$. Alors

    $$ u(w) = \sum_i\ x_i Toto_i = v(w)$$    ^



    Tu ne veux toujours pas changer de méthodologie? Tu poses des questions GENERALES alors qu'un approfondissement naturel et de quelques secondes t'amènerait à poser les mêmes questions de fond, mais précisées.

    Ici, ta "vraie" question** était "qu'est-ce qu'une base, précisément?"

    Et tu ne l'as pas posée.

    ** comme beaucoup de gens, il se peut que ton cerveau ait enregistré que c'est un ensemble de vecteurs et non une famille (à tort), mais ta méthodologie t'empêche l'accès à ces progrès, car tu espères compenser l'imprécis et le vague à coups de répétition de 1000 exos brutaux par an. Tu régresses
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • OShine
    OShine
    D'accord merci, j'avais oublié ce résultat.

    $\psi : E \longrightarrow \K_{n-1}[X] \\ \ \ \ \ x \mapsto x$ où $B=(e_1, \cdots, e_n)$ est la base canonique de $\K_{n-1} [X]$ et $B_E =(f_1, \cdots, f_n)$ une base de $E$.

    On a $\psi(f_1)=e_1$ etc $\psi(f_n)=e_n$

    $\psi$ est l'application canoniquement associé à la matrice de passage $P_{B}^{B_E}$
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