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Projecteur et opérateur linéaire

Envoyé par ec06 
Projecteur et opérateur linéaire
il y a cinq semaines
Bonjour,
Mon questionnement est le suivant :
Soit un opérateur linéaire A dans un espace vectoriel de dimension fini ou pas. A quelle(s) condition(s) existe-t-il un projecteur p commutant avec A:
A.p = p.A
Au delà de la question elle-même, je suis aussi preneur de toute littérature abordant de près ou de loin le sujet.
Merci d'avance pour votre réponse.
Re: Projecteur et opérateur linéaire
il y a cinq semaines
Sans aucune hypothèse supplémentaire (que je parie que tu as oubliée, mais c'est très habituel sur ce forum) : $p = id$ fonctionne toujours sans hypothèse sur $A$.



Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a cinq semaines et a été effectuée par Chalk.
Re: Projecteur et opérateur linéaire
il y a cinq semaines
Bonjour en dimension finie $A$ doit envoyer $Im(p)$ sur $Im(p)$ et doit être nul sur $\ker(p)$. Cela se voit avec une représentation matricielle obtenue en choisissant les $\dim(Im(p))$ premiers vecteurs de base sur $Im(p)$ et les autres sur $\ker(p)$. En dimension infinie et pour la théorie ZF des ensembles il y a deux écoles : dans celle qui admet l'axiome du choix, le théorème de la base incomplète permet la même conclusion, dans celle qui le rejette on ne peut pas conclure.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a cinq semaines et a été effectuée par AD.
Re: Projecteur et opérateur linéaire
il y a cinq semaines
Je remercie Alain pour sa réponse même si je savais déjà ces propriétés énoncées et que ça ne répond pas à ma question qui est: à quelle(s) condition(s) SUR l'opérateur A existe-t-il un projecteur commutant avec A?
Répondre à cette question en dimension 2 sur les coefficients de la matrice de A nécessite déjà quelques calculs...
Re: Projecteur et opérateur linéaire
il y a cinq semaines
Précise autre que l'identité et la constante nulle quand tu postes une deuxième fois avec un ton un peu sévère. Ca aidera à digérer la sévérité grinning smiley

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