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Projecteur et opérateur linéaire

ec06ec06
dans Algèbre
Bonjour,
Mon questionnement est le suivant :
Soit un opérateur linéaire A dans un espace vectoriel de dimension fini ou pas. A quelle(s) condition(s) existe-t-il un projecteur p commutant avec A:
A.p = p.A
Au delà de la question elle-même, je suis aussi preneur de toute littérature abordant de près ou de loin le sujet.
Merci d'avance pour votre réponse.

Réponses

  • ChalkChalk
    Sans aucune hypothèse supplémentaire (que je parie que tu as oubliée, mais c'est très habituel sur ce forum) : $p = id$ fonctionne toujours sans hypothèse sur $A$.
  • AlainLyonAlainLyon
    Bonjour en dimension finie $A$ doit envoyer $Im(p)$ sur $Im(p)$ et doit être nul sur $\ker(p)$. Cela se voit avec une représentation matricielle obtenue en choisissant les $\dim(Im(p))$ premiers vecteurs de base sur $Im(p)$ et les autres sur $\ker(p)$. En dimension infinie et pour la théorie ZF des ensembles il y a deux écoles : dans celle qui admet l'axiome du choix, le théorème de la base incomplète permet la même conclusion, dans celle qui le rejette on ne peut pas conclure.
    Les mathématiques ne sont pas vraies, elles sont commodes.
    Henri Poincaré
  • ec06ec06
    Je remercie Alain pour sa réponse même si je savais déjà ces propriétés énoncées et que ça ne répond pas à ma question qui est: à quelle(s) condition(s) SUR l'opérateur A existe-t-il un projecteur commutant avec A?
    Répondre à cette question en dimension 2 sur les coefficients de la matrice de A nécessite déjà quelques calculs...
  • christophe cchristophe c
    Précise autre que l'identité et la constante nulle quand tu postes une deuxième fois avec un ton un peu sévère. Ca aidera à digérer la sévérité :-D
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
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