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Topologie des matrices d'ordre fini

Envoyé par 20100N 
Topologie des matrices d'ordre fini
il y a cinq semaines
Bonjour, ll y a quelque temps, j'avais lu quelque part qu'il existait un résultat de densité de l'ensemble des matrices d'ordre fini mais je ne sais plus lequel. Je crois que la propriété qui caractérisait les matrices adhérentes portait sur le spectre mais je ne suis pas sûr. Pourriez-vous me renseigner ?

Par être d'ordre fini j’entends qu'on peut trouver p tel que Mp=In. Cordialement.

[En typographie, on ne met jamais d'espace avant un point ou une virgule, mais toujours après. winking smiley AD]



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a cinq semaines et a été effectuée par AD.
Re: Topologie des matrices d'ordre fini
il y a cinq semaines
Bonjour, si le corps des coefficients est $\mathbb{C}$ alors quel est le polynôme minimal d'une matrice d'ordre finie? Quel est son spectre? Que dit le théorème de Benford?
MrJ
Re: Topologie des matrices d'ordre fini
il y a cinq semaines
Il me semble que l’adhérence de l’ensemble des matrices d’ordre fini est l’ensemble des matrices diagonalisables dont les valeurs propres sont des nombres complexes de module $1$.
Re: Topologie des matrices d'ordre fini
il y a cinq semaines
avatar
Benford ou Dunford ?
Re: Topologie des matrices d'ordre fini
il y a cinq semaines
Dunford
Re: Topologie des matrices d'ordre fini
il y a cinq semaines
Pour moi on sait juste que le polynôme minimal divise Xp-In , que Sp(M) est inclus dans Up. Dans C M est annulé par un polynôme scindé ( dans C ) donc on a la décomposition de Dunford mais je ne vois pas à quoi ca sert .

Mrj ce serait un résultat de continuité des racines du polynôme caractéristique ?
MrJ
Re: Topologie des matrices d'ordre fini
il y a cinq semaines
Oui, pour montrer une des deux inclusions (dans ce cas précis, il n'y a pas besoin d'un "gros" théorème, car les valeurs propres sont toutes bornées par $1$, donc on peut utiliser un argument de compacité).



Edité 3 fois. La dernière correction date de il y a cinq semaines et a été effectuée par MrJ.
Re: Topologie des matrices d'ordre fini
il y a cinq semaines
Tout élément de U est limite d'une suite de racines n-ièmes (piQ est un sous-groupe additif de R non discret par irrationalité de pi donc dense dans R). Avec ça si M est à valeurs propres dans dans U, on la trigonalise et on l'approche en modifiant la diagonale avec des racines n-ièmes. Si on peut, et je crois que l'on peut, faire en sorte à chaque fois que les racines n-ièmes soient toutes distinctes sur une même diagonale, alors les matrices qui approchent M sont diagonalisables, de valeurs propres de la forme exp(2 i k pi / n) donc d'ordre fini (prendre le produit des dénominateurs, encore mieux le ppcm).

Pour l'inclusion réciproque aucune idée, je ne sais pas démontrer la continuité des racines "d'un" polynôme donc je ne vois pas en quoi le fait que les racines soient bornées en module aide.

[En typographie, on ne met jamais d'espace avant un point ou une virgule, mais toujours après. winking smiley AD]



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a cinq semaines et a été effectuée par AD.
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