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Constructibilité

Envoyé par nxtxn 
Constructibilité
il y a cinq semaines
Bonjour,

Peut-on construire un n-gone régulier centré en un point (0, 0) avec n = 5 et avec n = 7 ?

Merci
MrJ
Re: Constructibilité
il y a cinq semaines
Que veux-tu dire par construire?
Dom
Re: Constructibilité
il y a cinq semaines
Avec quels instruments autorisés ?

Si c’est compas et règle non graduée, c’est oui pour n=5 et c’est non pour n=7.

Si c’est compas seul : idem. Mais je ne sais pas le faire.
Re: Constructibilité
il y a cinq semaines
Bonjour

la construction du pentagone régulier est un exercice classique, celui de l'heptagone régulier l'est moins

mais elle est possible : je me souviens l'avoir vue ici même sur le site géométrie,

nos spécialistes sauront peut-être nous la restituer.

Cordialement
Re: Constructibilité
il y a cinq semaines
Bonjour,

Non pour l'heptagone, avec la règle et le compas.
Le n-gone est constructible à la règle et le compas si n est le produit d'une puissance de $2$ et d'un certain nombre de nombres de Fermat premiers (Théorème dû à C.F.Gauss).
Un nombre de Fermat est un nombre de la forme $2^{2^p}+1$.

Cordialement,
Re: Constructibilité
il y a cinq semaines
Bonjour,

C'est par exemple possible pour $n \in \{17,257,65537\}$.
On trouve des sujets de devoir classiques (niveau terminale) avec $n=17$.
Il me semble qu'un abbé a passé $40$ ans de sa vie à chercher et il a trouvé une méthode concrète pour $n=257$. Il n'avait peut-être que ça à faire grinning smiley.
A ma connaissance, on n'a pas encore trouvé de méthode concrète pour $n=65537$.
Et on ne sait pas s'il existe des nombre de Fermat premiers pour $p\geq 5$.

Cordialement,

Rescassol

PS: Il faudrait demander à Pablo de nous résoudre par radicaux $X^{17}-1=0$, c'est possible.
Re: Constructibilité
il y a cinq semaines
Voyons : sur une feuille carrée de deux mètres de côté, la distance entre deux sommets consécutifs serait de $0{,}0000956$ mètre environ, disons un dixième de millimètre. Peut-on construire une meilleure approximation qu'avec un compas ?
MrJ
Re: Constructibilité
il y a cinq semaines
@Rescassol : Il y a quelques années, mon enseignant en théorie de Galois nous avais donné le calcul de $\cos\left(\dfrac{2\pi}{17}\right)$ en devoir de vacances (sans aucune indication). C'étais rigolo à faire! spinning smiley sticking its tongue out



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a cinq semaines et a été effectuée par MrJ.
Re: Constructibilité
il y a cinq semaines
et ducoup ça vaut combien?

Signature :
pas algébrique ×pas transcendant pas égale à zéro=pas algébrique
Re: Constructibilité
il y a cinq semaines
Pas bien dur à trouver (sur le net au moins).
MrJ
Re: Constructibilité
il y a cinq semaines
Il existe plein d'expressions différentes.

En voici une :





Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a cinq semaines et a été effectuée par MrJ.
Dom
Re: Constructibilité
il y a cinq semaines
Du coup, ces nombres se construisent avec la règle et le compas.
Re: Constructibilité
il y a cinq semaines
avatar
Construction du 7-gone régulier de côté 1 par

Neusis (inclinaison)

Le côté du carré est $1$ .

Que le rayon de (2) soit $\sqrt{2}$ tient du miracle, et nous
n'aimons pas beaucoup les miracles, mais voilà, il existe.

La neusis se fait avec la règle sur laquelle on a marqué
deux points C et S distants de $1$ .
On fait varier C sur (2) et S sur l'axe de symétrie vertical du carré.
On fait bouger la règle jusqu'à ce que son bord passe par P .

On marque S sur le dessin, la suite... suit.



Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a cinq semaines et a été effectuée par soland.


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