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Espace vectoriel et familles

Envoyé par Ignotus 
Espace vectoriel et familles
il y a quatre semaines
Bonjour,j'espère que vous allez bien !
J'ai la question suivante.

Si on a $(E,+,\times )$ un $\mathbb{C}$ espace vectoriel
Une famille finie de $E, \mathbb{R}$-génératrice est-elle $\mathbb{C}$-génératrice ? Et la réciproque de cela ?
(ici $\mathbb R$-génératrice veut dire que le corps de l'espace vectoriel $E$ est $\mathbb R$).

Pour la première, j'ai utilisé la définition d'une famille génératrice $\forall x\in E,\ \exists (\lambda _{1},\lambda _{2},\ldots ,\lambda _{n})\in \mathbb{R}^{n},\ x=\sum _{{k=1}}^{n}\lambda _{k}f_{k}$ et puisque $\mathbb{R} \subset \mathbb{C}$ donc $\forall x\in E,\ \exists (\lambda _{1},\lambda _{2},\ldots ,\lambda _{n})\in \mathbb{C}^{n},\ x=\sum _{{k=1}}^{n}\lambda _{k}f_{k}$
et donc La famille est $\mathbb C$-génératrice .

J'ai encore des doutes sur mon raisonnement et pour la réciproque je n'ai pas d'idée.
Merci pour vos réponses. :)



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a quatre semaines et a été effectuée par AD.
Re: Espace vectoriel et familles
il y a quatre semaines
Bonjour.

Ton raisonnement est correct. Plus littérairement, si tout élément de E est combinaison linéaire à coefficients réels des $f_k$, alors tout élément de E est combinaison linéaire à coefficients complexes des $f_k$. Donc la famille est génératrice. On ne fait qu'utiliser le fait que les réels sont dans $\mathbb C$.

Pour la réciproque prends le $\mathbb C$-espace vectoriel $\mathbb C$ et la famille à un seul élément $1$ (elle est génératrice, c'est même une base).

Cordialement
Re: Espace vectoriel et familles
il y a quatre semaines
Bonjour Gerard0, merci pour la réponse rapide . tout est clair maintenant . :)



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a quatre semaines et a été effectuée par Ignotus.
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