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Automorphismes de l'anneau des polynômes

Envoyé par Pablo_de_retour 
Automorphismes de l'anneau des polynômes
il y a trois semaines
avatar
Bonjour

Soit $ \mathbb{Q} ( a_1 , \dots , a_n ) $ une extension finie et galoisienne, de corps de $ \mathbb{Q} $, dans $ \mathbb{C} $.
Soit $ \mathrm{Gal} ( \mathbb{Q} ( a_1 , \dots , a_n ) / \mathbb{Q} ) $ le groupe de Galois de $ \mathbb{Q} ( a_1 , \dots , a_n ) $ sur $ \mathbb{Q} $.
Soient $ P_1 , \dots , P_n \in \mathbb{Q} [X] $ les polynômes minimales de $ a_1 , \dots , a_n $, respectivement.
On note, $ \mathrm{Gal} ( \mathbb{Q} [ P_1 , \dots , P_n ] / \mathbb{Q} ) $ le groupe des automorphismes de l'anneau des polynômes $ \mathbb{Q} [ P_1 , \dots , P_n ] $, faisant permuter les éléments de $ \{ \ P_1 , \dots , P_n \ \} $, et laissant invariant $ \mathbb{Q} $.
J'hésite entre deux manières à choisir, de définir un morphisme de groupes entre $ \mathrm{Gal} ( \mathbb{Q} [ P_1 , \dots , P_n ] / \mathbb{Q} ) $ et $ \mathrm{Gal} ( \mathbb{Q} ( a_1 , \dots , a_n ) / \mathbb{Q} ) $.
- Ou bien, $ \varphi \ : \ \mathrm{Gal} ( \mathbb{Q} [ P_1 , \dots , P_n ] / \mathbb{Q} ) \to \mathrm{Gal} ( \mathbb{Q} ( a_1 , \dots , a_n ) / K ) $,
- Ou bien, $ \phi \ : \ \mathrm{Gal} ( \mathbb{Q} ( a_1 , \dots , a_n ) / \mathbb{Q} ) \to \mathrm{Gal} ( \mathbb{Q} [ P_1 , \dots , P_n ] / \mathbb{Q} ) $
afin de voir quand ces deux groupes $ \mathrm{Gal} ( \mathbb{Q} [ P_1 , \dots , P_n ] / \mathbb{Q} ) $ et $ \mathrm{Gal} ( \mathbb{Q} ( a_1 , \dots , a_n ) / \mathbb{Q} ) $ sont isomorphes.
Bref, je cherche, au lieu de m’intéresser aux automorphismes permutant les racines d'un polynôme et laissant invariant le corps de base, à m’intéresser aux automorphismes permutant leurs polynômes minimales et laissant invariant le corps de base.

Comment alors sont définis concrètement les morphismes $ \varphi $ et $ \phi $, et quand sont-ils des isomorphismes de groupes ?

Merci d'avance.



Edité 6 fois. La dernière correction date de il y a trois semaines et a été effectuée par AD.
Re: Automorphismes de l'anneau des polynômes.
il y a trois semaines
Bonjour,

Tu as envie de faire joujou, alors fais joujou.
Tu n'as pas besoin de demander à autrui comment faire joujou, tu fais joujou comme tu veux.

Cordialement,

Rescassol
Re: Automorphismes de l'anneau des polynômes.
il y a trois semaines
Pablo fait une rechute en ce moment, le nombre de fils ouverts (pour, comme toujours, dire n'importe quoi) a beaucoup augmenté ces derniers jours. Pablo, tu devrais aller prendre l'air et trouver de meilleures choses à faire avec ton temps.
Re: Automorphismes de l'anneau des polynômes.
il y a trois semaines
avatar
S'il vous plaît, c'est intéressant. Vous allez comprendre pourquoi la question est intéressante plus tard quand j'aurai réalisé cette construction.

Edit,
Je corrige :
J'hésite entre deux manières à choisir, de définir un morphisme de groupes entre $ \mathrm{Gal} ( \mathbb{Q} [ P_1 , \dots , P_n ] / \mathbb{Q} ) $ et $ \mathrm{Gal} ( \mathbb{Q} ( P_1(a_1) , \dots , P_n(a_n) ) / \mathbb{Q} ) $.
- Ou bien, $ \varphi \ : \ \mathrm{Gal} ( \mathbb{Q} [ P_1 , \dots , P_n ] / \mathbb{Q} ) \to \mathrm{Gal} ( \mathbb{Q} ( P_1 (a_1) , \dots , P_n (a_n) ) / \mathbb{Q} ) $,
- Ou bien, $ \phi \ : \ \mathrm{Gal} ( \mathbb{Q} ( P_1 (a_1) , \dots , P_n (a_n) ) / \mathbb{Q} ) \to \mathrm{Gal} ( \mathbb{Q} [ P_1 , \dots , P_n ] / \mathbb{Q} ) $
afin de voir quand ces deux groupes $ \mathrm{Gal} ( \mathbb{Q} [ P_1 , \dots , P_n ] / \mathbb{Q} ) $ et $ \mathrm{Gal} ( \mathbb{Q} ( P_1 (a_1) , \dots , P_n (a_n) ) / \mathbb{Q} ) $ sont isomorphes.
$ P_1 , \dots , P_n \in \mathbb{Q} [X] $ qui ne sont pas forcément des polynômes minimales d $ a_1 , \dots , a_n $ respectivement.



Edité 3 fois. La dernière correction date de il y a trois semaines et a été effectuée par AD.
Re: Automorphismes de l'anneau des polynômes.
il y a trois semaines
avatar
Pour simplifier davantage la formulation du problème, on va prendre, $ n = 1 $ :
J'hésite donc, entre deux manières à choisir, de définir un morphisme de groupes entre $ \mathrm{Gal} ( \mathbb{Q} [ P ] / \mathbb{Q} ) $ et $ \mathrm{Gal} ( \mathbb{Q} ( P(a) ) / \mathbb{Q} ) $.
- Ou bien, $ \varphi \ : \ \mathrm{Gal} ( \mathbb{Q} [ P ] / \mathbb{Q} ) \to \mathrm{Gal} ( \mathbb{Q} ( P (a) ) / \mathbb{Q} ) $,
- Ou bien, $ \phi \ : \ \mathrm{Gal} ( \mathbb{Q} ( P (a) ) / \mathbb{Q} ) \to \mathrm{Gal} ( \mathbb{Q} [ P ] / \mathbb{Q} ) $
afin de voir quand ces deux groupes $ \mathrm{Gal} ( \mathbb{Q} [ P ] / \mathbb{Q} ) $ et $ \mathrm{Gal} ( \mathbb{Q} ( P (a) ) / \mathbb{Q} ) $ sont isomorphes.



Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a trois semaines et a été effectuée par Pablo_de_retour.
Re: Automorphismes de l'anneau des polynômes
il y a trois semaines
Donc tu n'as encore rien construit, tu n'as aucune idée de ce que ça va être, mais tu sais déjà que ça va être intéressant ? Moi je sais déjà que c'est du grand n'importe quoi.
Re: Automorphismes de l'anneau des polynômes
il y a trois semaines
avatar
Non. Ma question est la suivante, @Poirot, spinning smiley sticking its tongue out

Soit $ \mathbb{Q} ( a_1 , \dots , a_n ) $ une extension finie et galoisienne, de corps de $ \mathbb{Q} $, dans $ \mathbb{C} $.
Soit $ \mathrm{Gal} ( \mathbb{Q} ( a_1 , \dots , a_n ) / \mathbb{Q} ) $ le groupe de Galois de $ \mathbb{Q} ( a_1 , \dots , a_n ) $ sur $ \mathbb{Q} $.
Soient $ P_1 , \dots , P_n \in \mathbb{Q} [X] $ les polynômes minimales de $ a_1 , \dots , a_n $, respectivement.
On note, $ \mathrm{Gal} ( \mathbb{Q} [ P_1 , \dots , P_n ] / \mathbb{Q} ) $ le groupe des automorphismes de l'anneau des polynômes $ \mathbb{Q} [ P_1 , \dots , P_n ] $, faisant permuter les éléments de $ \{ \ P_1 , \dots , P_n \ \} $, et laissant invariant $ \mathbb{Q} $.
J'hésite entre deux manières à choisir, de définir un morphisme de groupes entre $ \mathrm{Gal} ( \mathbb{Q} [ P_1 , \dots , P_n ] / \mathbb{Q} ) $ et $ \mathrm{Gal} ( \mathbb{Q} ( a_1 , \dots , a_n ) / \mathbb{Q} ) $.
- Ou bien, $ \varphi \ : \ \mathrm{Gal} ( \mathbb{Q} [ P_1 , \dots , P_n ] / \mathbb{Q} ) \to \mathrm{Gal} ( \mathbb{Q} ( a_1 , \dots , a_n ) / K ) $,
- Ou bien, $ \phi \ : \ \mathrm{Gal} ( \mathbb{Q} ( a_1 , \dots , a_n ) / \mathbb{Q} ) \to \mathrm{Gal} ( \mathbb{Q} [ P_1 , \dots , P_n ] / \mathbb{Q} ) $
afin de voir quand ces deux groupes $ \mathrm{Gal} ( \mathbb{Q} [ P_1 , \dots , P_n ] / \mathbb{Q} ) $ et $ \mathrm{Gal} ( \mathbb{Q} ( a_1 , \dots , a_n ) / \mathbb{Q} ) $ sont isomorphes.
Bref, je cherche, au lieu de m’intéresser aux automorphismes permutant les racines d'un polynôme et laissant invariant le corps de base, à m’intéresser aux automorphismes permutant leurs polynômes minimales et laissant invariant le corps de base.

Comment alors sont définis concrètement les morphismes $ \varphi $ et $ \phi $, et quand sont-ils des isomorphismes de groupes ?



Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a trois semaines et a été effectuée par AD.
Re: Automorphismes de l'anneau des polynômes
il y a trois semaines
avatar
On sait que, $ \mathbb{Q} (a_1 , \dots , a_n ) = \mathbb{Q} [X_1 , \dots , X_n ] / I (a_1 , \dots , a_n) $, où, $ I (a_1 , \dots , a_n ) = \{ \ P \in \mathbb{Q} [X_1 , \dots, X_n ] \ | \ P (a_1 , \dots , a_n ) = 0 \ \} $, mais, pour $ \mathbb{Q} [P_1 , \dots , P_n] $, je ne peux pas écrire, $ \mathbb{Q} [P_1 , \dots , P_n] = \mathbb{Q} [X_1 , \dots , X_n ] / I (P_1 , \dots , P_n ) $.
Comment se débrouiller alors ?
Re: Automorphismes de l'anneau des polynômes
il y a trois semaines
C'est parfaitement débile, je n'ai pas d'autres mots. Peux-tu nous décrire ce que tu appelles $\mathrm{Gal} ( \mathbb{Q} [ P_1 , \dots , P_n ] / \mathbb{Q} )$ ?
Re: Automorphismes de l'anneau des polynômes
il y a trois semaines
avatar
C'est le groupe des automorphismes de $ \mathbb{Q} [P_1 , \dots , P_n ] $ permutant les $ P_j $ pour $ j $ allant de $ 1 $ à $ n $, et laissant invariant $ \mathbb{Q} $.
Les $ P_j $ sont les polynômes minimales des $ a_j $, respectivement.
Re: Automorphismes de l'anneau des polynômes
il y a trois semaines
Donne-nous un exemple concret au lieu de blablater comme d'habitude.
Re: Automorphismes de l'anneau des polynômes
il y a trois semaines
avatar
$ \mathrm{Gal} ( \mathbb{Q} [X] / \mathbb{Q} ) = \mathrm{Aut} ( \mathbb{Q} [X] ) = \mathbb{Q} [X]_{ \leq 1 } $ avec, $ \mathbb{Q} [X]_{ \leq 1 } = \{ \ X \mapsto aX+b \ | \ (a,b) \in \mathbb{Q}^* \times \mathbb{Q} \ \} $.
Voir ici, [forums.futura-sciences.com]



Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a trois semaines et a été effectuée par Pablo_de_retour.
Re: Automorphismes de l'anneau des polynômes
il y a trois semaines
Déjà tu confonds $\mathbb Q[X]$ et $\mathbb Q(X)$, ce qui est grave pour un grand algébriste tel que toi. Est-ce que tu peux nous décrire ton $\mathrm{Gal} ( \mathbb{Q} [X^2-3, X^2-2] / \mathbb{Q} )$ par exemple ?
Re: Automorphismes de l'anneau des polynômes
il y a trois semaines
avatar
Soit $ \varphi \in \mathrm{Gal} ( \mathbb{Q} [X^{2} - 3 , X^{2} - 2 ] / \mathbb{Q} ) $.
Alors, pour tout $ P \in \mathbb{Q} [X^{2} - 3 , X^{2} - 2 ] $, $$ \varphi (P) (X^2 - 3 , X^2 - 2 ) = P ( \varphi (X^2 - 3) , \varphi ( X^2 - 2 ) ) $$
Il y a deux possibilités,
- $ \varphi ( X^2 - 3 ) = X^2 - 3 $ et $ \varphi (X^2 - 2 ) = X^2 - 2 $.
Dans ce cas là, $ \varphi = \mathrm{id}_{ \mathbb{Q} [X^{2} - 3 , X^{2} - 2 ] } $.
- $ \varphi ( X^2 - 3 ) = X^2 - 2 $ et $ \varphi (X^2 - 2 ) = X^2 - 3 $.
Donc, il faut chercher $ \varphi $ tel que, pour tout $ P \in \mathbb{Q} [X^2 - 3 , X^2 - 2 ] $, $$ \varphi (P ) (X^2 - 3 , X^2 - 2 ) = P ( X^2 - 2 , X^2 - 3 ) $$
Quelle est alors, ce $ \varphi $ ?
Re: Automorphismes de l'anneau des polynômes
il y a trois semaines
avatar
Citation
Pablo
$ \mathrm{Gal} ( \mathbb{Q} [X] / \mathbb{Q} ) = \mathrm{Aut} ( \mathbb{Q} [X] ) = \mathbb{Q} [X]_{ \leq 1 } $ avec, $ \mathbb{Q} [X]_{ \leq 1 } = \{ \ X \mapsto aX+b \ | \ (a,b) \in \mathbb{Q}^* \times \mathbb{Q} \ \} $.
Voir ici, [forums.futura-sciences.com] uperieur/740537-automorphismes-de-k-x.html

Citation
Poirot
Déjà tu confonds $\mathbb Q[X]$ et $\mathbb Q(X)$, ce qui est grave pour un grand algébriste tel que toi. Est-ce que tu peux nous décrire ton $\mathrm{Gal} ( \mathbb{Q} [X^2-3, X^2-2] / \mathbb{Q} )$ par exemple ?

Pardon. Ici, c'est faux, car, les automorphismes de $ \mathrm{Gal} ( \mathbb{Q} [X] / \mathbb{Q} ) = \mathrm{Aut} ( \mathbb{Q} [X] ) = \mathbb{Q} [X]_{ \leq 1 } $ avec, $ \mathbb{Q} [X]_{ \leq 1 } = \{ \ X \mapsto aX+b \ | \ (a,b) \in \mathbb{Q}^* \times \mathbb{Q} \ \} $, sont des automorphismes en toute généralité, et non uniquement ceux qui permutent $ X $ et $ X $, c'est à dire, ceux qui laissent invariant $ X $.

Donc, quelle est $ \mathrm{Gal} ( \mathbb{Q} [X] / \mathbb{Q} ) $ le groupe des automorphismes de $ \mathbb{Q} [X] $, laissant invariant $ \mathbb{Q} $ et $ X $ ?

Merci d'avance.

Edit,
Donc, les automorphismes $ \varphi \in \mathrm{Gal} ( \mathbb{Q} [X] / \mathbb{Q} ) = \mathrm{Aut} ( \mathbb{Q} [X] ) = \mathbb{Q} [X]_{ \leq 1 } $ avec, $ \mathbb{Q} [X]_{ \leq 1 } = \{ \ X \mapsto aX+b \ | \ (a,b) \in \mathbb{Q}^* \times \mathbb{Q} \ \} $, vérifiant $ \varphi (X) = X $, est l'automorphisme $ \varphi = \mathrm{id}_{ \mathbb{Q} [X] } $. D'où,
$$ \mathrm{Gal} ( \mathbb{Q} [X] / \mathbb{Q} ) = \{ \mathrm{id}_{ \mathbb{Q} [X] } \} $$.



Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a trois semaines et a été effectuée par Pablo_de_retour.
Re: Automorphismes de l'anneau des polynômes
il y a trois semaines
Ta conclusion du dernier message est correcte. Ce serait un peu moins ridicule si tu te rendais compte que c'est parfaitement évident, et que tu n'as pas besoin de connaître le résultat pour lequel tu as donné un lien futura-sciences. Une fois que ce sera devenu évident pour toi (mais je doute que ça arrive vraiment), tu pourras calculer ton groupe d'automorphisme dans le cas $X^2-2$ et $X^2-3$, et tu pourras constater qu'il n'a strictement rien à voir avec celui de $\mathbb Q(\sqrt 2, \sqrt 3)$.
Re: Automorphismes de l'anneau des polynômes
il y a trois semaines
avatar
Citation
Poirot
Une fois que ce sera devenu évident pour toi (mais je doute que ça arrive vraiment),

Pourquoi affirmes-tu que c'est évident ? Y a-t-il un chemin moins insinueux que tu connais et qui raccourcit la méthode de résolution ?

Citation
Poirot
tu pourras calculer ton groupe d'automorphisme dans le cas $X^2-2$ et $X^2-3$, et tu pourras constater qu'il n'a strictement rien à voir avec celui de $\mathbb Q(\sqrt 2, \sqrt 3)$.

Oui, mais je ne sais pas le calculer. Je t'ai indiqué ce qui me rebute dans mon avant dernier message. J'attends que tu m'expliques comment.
Merci.
Re: Automorphismes de l'anneau des polynômes
il y a trois semaines
Citation
Pablo
Y a-t-il un chemin moins insinueux que tu connais et qui raccourcit la méthode de résolution ?

Oui, n'importe quel étudiant de L2 peut constater qu'un automorphisme d'anneau de $\mathbb Q[X]$ fixant $X$ est l'identité.

Citation
Pablo
J'attends que tu m'expliques comment.

Je ne le ferai pas. Tu es un grand mathématicien qui a résolu plusieurs grandes conjectures après tout, tu n'as pas besoin de moi !
Re: Automorphismes de l'anneau des polynômes
il y a trois semaines
avatar
Citation
Poirot
Oui, n'importe quel étudiant de L2 peut constater qu'un automorphisme d'anneau de $\mathbb Q[X]$ fixant $X$ est l'identité.

Oui, c'est vrai, c'est trivial. Mais, ce n'était pas évident pour moi au début.

Citation
Poirot
Je ne le ferai pas.

Por favor amigo. sad smiley
Re: Automorphismes de l'anneau des polynômes
il y a trois semaines
avatar
Citation
Pablo
Il y a deux possibilités,
- $ \varphi ( X^2 - 3 ) = X^2 - 3 $ et $ \varphi (X^2 - 2 ) = X^2 - 2 $.
Dans ce cas là, $ \varphi = \mathrm{id}_{ \mathbb{Q} [X^{2} - 3 , X^{2} - 2 ] } $.
- $ \varphi ( X^2 - 3 ) = X^2 - 2 $ et $ \varphi (X^2 - 2 ) = X^2 - 3 $.
Donc, il faut chercher $ \varphi $ tel que, pour tout $ P \in \mathbb{Q} [X^2 - 3 , X^2 - 2 ] $, $$ \varphi (P ) (X^2 - 3 , X^2 - 2 ) = P ( X^2 - 2 , X^2 - 3 ) $$
Quelle est alors, ce $ \varphi $ ?


On calcule, d’abord, les automorphismes de $ \mathbb{Q} [ X^2 - 3 , X^2 - 2 ] / \mathbb{Q} $, avant d'en déduire ceux qui permutent $ X \mapsto X^2 - 3 $ et $ X \mapsto X^2 - 2 $. N'est ce pas ?
Faut-t-il, pour cela, calculer, $ \varphi ( (X,Y) \mapsto X ) (X , Y ) $, et $ \varphi ( (X,Y) \mapsto Y ) ( X , Y ) $, pour en déduire, $ \varphi (P) (X,Y ) $ ?



Edité 3 fois. La dernière correction date de il y a trois semaines et a été effectuée par Pablo_de_retour.
Re: Automorphismes de l'anneau des polynômes
il y a trois semaines
avatar
Poirot,
Viens m'aider un peu s'il te plaît, puisque tu sembles connaitre comment on fait pour répondre à la question.
Quelques pistes menant vers la solution sont les bienvenues.
Merci.
Re: Automorphismes de l'anneau des polynômes
il y a trois semaines
Toujours faire faire le travail par les autres : fainéantise et parasitisme.
Re: Automorphismes de l'anneau des polynômes
il y a trois semaines
Non Pablo, ça ne sert à rien que je te donne une réponse toute faite. Moi ça me fait perdre mon temps, et toi ça ne te fera pas te rendre compte que tu es un pitre.
Re: Automorphismes de l'anneau des polynômes
il y a trois semaines
Re: Automorphismes de l'anneau des polynômes
il y a trois semaines
avatar
S'il vous plaît, un peu d'aide. J'en ai vraiment besoin pour ce problème.
Re: Automorphismes de l'anneau des polynômes
il y a trois semaines
Hello Pablo,

Contrairement à ce que les autres peuvent dire, ce que tu développes dans ce post a été déjà étudié dans cet article
[www4.math.sci.osaka-u.ac.jp]

Je n'ai pas connaissance de d'autres articles portant sur le même sujet, l'auteur de l'article étant un des pontes dans le domaine. Je te souhaite bon courage, il y a une petite barrière de langage mais ça vaut le coup de s'y mettre.
Re: Automorphismes de l'anneau des polynômes
il y a trois semaines
@noobey : grinning smiley
Re: Automorphismes de l'anneau des polynômes
il y a trois semaines
avatar
Poirot,

Un coup de pouce s'il te plaît. smiling smiley
Re: Automorphismes de l'anneau des polynômes
il y a trois semaines
Non. Travaille et réfléchis pour une fois dans ta vie.
Re: Automorphismes de l'anneau des polynômes
il y a trois semaines
avatar
@Poirot,
Je ne te demande pas de me résoudre l'exercice noir sur blanc, mais juste me proposer quelques pistes pour démarrer. Je suis complètement bloqué.
Merci.
Re: Automorphismes de l'anneau des polynômes
il y a trois semaines
Tu peux remarquer que $X^2-3=X^2-2-1$...
Re: Automorphismes de l'anneau des polynômes
il y a trois semaines
avatar
Merci Poirot.
Donc, puisque, $ X^2 - 3 = X^2 - 2 - 1 $, alors, $ X^2 - 3 $ et $ X^2 - 2 $ sont algébriquement liés sur $ \mathbb{Q} $.
D'où, $ \mathbb{Q} [ X^2 - 3 , X^2 - 2 ] = \mathbb{Q} [ X^2 - 2 ] = \mathbb{Q} [ X^2 - 3 ] $.
Est ce que je commence bien Poirot ?



Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a trois semaines et a été effectuée par Pablo_de_retour.
Re: Automorphismes de l'anneau des polynômes
il y a trois semaines
Ce n'est pas faux.
Re: Automorphismes de l'anneau des polynômes
il y a trois semaines
avatar
Donc, $ \mathrm{Gal} ( \mathbb{Q} [ X^2 - 3 , X^2 - 2 ] / \mathbb{Q} ) = \mathrm{Gal} ( \mathbb{Q} [ X^2 - 2 ] / \mathbb{Q} ) = \{ \ \mathrm{id}_{ \mathrm{Q} [X^2 - 2 ] } \ \} $ ?
Re: Automorphismes de l'anneau des polynômes
il y a trois semaines
avatar
Citation
Poirot
tu pourras calculer ton groupe d'automorphisme dans le cas $X^2-2$ et $X^2-3$, et tu pourras constater qu'il n'a strictement rien à voir avec celui de $\mathbb Q(\sqrt 2, \sqrt 3)$.

@Poirot,
Pourquoi n'a-t-on pas aussi, $ \mathbb{Q} ( \sqrt{2} , \sqrt{3} ) = \mathbb{Q} ( \sqrt{2} ) $, alors, qu'on a, $ \mathbb{Q} [ X^2 - 2 , X^2 - 3 ] = \mathbb{Q} [X^2 - 2 ] $. Même $ \sqrt{2} $ et $ \sqrt{3} $ sont algébriquement liés sur $ \mathbb{Q} $, car, $ P( \sqrt{2} , \sqrt{3} ) = 0 $, avec, $ P(X,Y) = X^2 - Y^2 +1 $. Si on a droit d'écrire, $ \mathbb{Q} [ X^2 - 2 , X^2 - 3 ] = \mathbb{Q} [X^2 - 2 ] $, on a aussi droit d'écrire, $\mathbb{Q} ( \sqrt{2} , \sqrt{3} ) = \mathbb{Q} ( \sqrt{2} ) $. Pourquoi c'est faux ?
Merci d'avance.
Re: Automorphismes de l'anneau des polynômes
il y a trois semaines
On a aussi $\Q[X^2-2,X^2-3]=\Q[X^2]$ et pourtant $\Q(\sqrt2,\sqrt3)\not\simeq\Q(0)$. Que de paradoxes !
Re: Automorphismes de l'anneau des polynômes
il y a trois semaines
avatar
Comment expliquez vous ça @Math Coss ? smiling bouncing smiley
Re: Automorphismes de l'anneau des polynômes
il y a trois semaines
C'est faux parce que tu as inventé un truc dans ton premier message que tu as cru être un nouveau résultat sensationnel. Depuis le début je t'indique que c'est n'importe quoi, et maintenant que tu as la preuve sous les yeux tu demandes pourquoi, c'est quand même un comble !
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