Nullstellensatz quadratique

Borelline · April 2021

Bonjour !

Si $q,q'$ sont deux formes quadratiques non dégénérées telles que $\mathcal{C}_q = \mathcal{C}_{q'} \neq \{0\}$ (où $\mathcal{C}_q$ désigne le cône isotrope de $q$) alors $q$ et $q'$ sont proportionnelles.

Cela est faux si le cône quadratique est réduit à $0$ comme le montrent les exemples $q(x,y) = x^2 + y^2,\ q'(x,y) = x^2 + 2y^2$.
Mais qu'en est-il du cas dégénéré? Reste-t-il vrai ?
Merci à vous !

Borelline · April 2021

Bon, question résolue. il suffit de prendre $q(x,y,z) = x^2 + y^2, q(x,y,z) = x^2+2y^2$

marsup · April 2021

Tu regardes sur $\R$ au lieu de regarder sur $\C$, c'est bien ça ?

Dans ce cas-là, c'est peu étonnant que le Nullstellensatz ne marche pas très bien ?