Pensez à lire la Charte avant de poster !

$\newcommand{\K}{\mathbf K}$


Les-Mathematiques.net - Cours de mathématiques supérieures
 Les-Mathematiques.net - Cours de mathématiques universitaires - Forum - Cours à télécharger

A lire
Deug/Prépa
Licence
Agrégation
A télécharger
Télécharger
277 personne(s) sur le site en ce moment
E. Cartan
A lire
Articles
Math/Infos
Récréation
A télécharger
Télécharger
Théorème de Cantor-Bernstein
Théo. Sylow
Théo. Ascoli
Théo. Baire
Loi forte grd nbre
Nains magiques
 
 
 
 
 

Une preuve de trigonalisation

Envoyé par topopot 
Une preuve de trigonalisation
il y a deux mois
J'ai du mal à comprendre, dans la preuve ci-dessous, concernant la matrice de $u$ dans une base adaptée à $F$, pourquoi le bloc en bas à droite est $\lambda I_{n-p}$ (pas de problème pour les trois autres blocs) ? Est-ce une erreur ?

En d'autres termes, si l'on note $\mathcal B_F=(e_1,\dots,e_p)$ une base de $F$ que l'on complète en une base $\mathcal B=(e_1,\dots,e_n)$ de $E$, pourquoi est-ce que : $\forall j\in [\![p+1,n]\!]\quad u(e_j)=\lambda e_j$ ?


Re: Une preuve de trigonalisation
il y a deux mois
Bonjour.

une fois la fin de la phrase "est de la forme" rectifié en "sont de la forme" (le sujet "matrices" est un pluriel), le passage d'une matrice à l'autre est assez évident, non ? Dit autrement, le bloc en bas à droite correspond à ce qui se passe sur $F$ dans une base "adaptée" (une base dont les derniers éléments sont des vecteurs propres indépendants de $u$, générateurs de F.

Cordialement.
Re: Une preuve de trigonalisation
il y a deux mois
Le théorème est faux car l'endomorphisme identité de tout $K$-espace vectoriel de dimension $n$ n'est pas trigonalisable et son polynôme minimal est scindé.
Re: Une preuve de trigonalisation
il y a deux mois
Ah en effet, merci gerard0.

@Alain : ce que tu dis est faux. Toute homothétie, en particulier l'identité, est trigonalisable (par exemple parce qu'elle est diagonalisable).
Re: Une preuve de trigonalisation
il y a deux mois
Trigonalisable signifie que les deux diagonales encadrant la diagonale principale de la matrice d'un endomorphisme ont tous leurs coefficients égaux à $1$ et que les coefficients de cette matrice qui ne sont pas sur la diagonale principale ou sur ces deux diagonales sont nuls. L'endomorphisme identité d'un $K$-espace vectoriel de dimension $n$ est bien un contre-exemple au théorème.
Re: Une preuve de trigonalisation
il y a deux mois
Pas du tout, tu écris n'importe quoi (et ce n'est pas la première fois).

Une matrice carrée $A$ est trigonalisable s'il existe une matrice inversible $P$ telle que tous les coefficients sous la diagonale de $P^{-1}AP$ sont nuls. Pour une matrice diagonale comme celle de l'identité dans n'importe quelle base, on peut prendre $P$ égale à l'identité, d'où le fait (évident) énoncé par topopot.
Re: Une preuve de trigonalisation
il y a deux mois
Bref, cette preuve est selon moi mal rédigée, étonnant pour ce chapitre très bien rédigé pour l'instant. J'en ai trouvé une autre bien plus claire (selon moi encore une fois).
Re: Une preuve de trigonalisation
il y a deux mois
avatar
@topopot : bonjour. D'où sont extraits ce théorème et cette preuve, s'il te plait ? Voudrais-tu déposer l'intégralité de la preuve. Je te remercie par avance.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a deux mois et a été effectuée par AD.
Re: Une preuve de trigonalisation
il y a deux mois
C'est extrait de [www.decitre.fr]

Et pour la fin de la preuve :


Re: Une preuve de trigonalisation
il y a deux mois
Je viens d'étudier la preuve. Celle de mon livre est limpide et parfaitement claire.

Elle est beaucoup plus détaillée que celle-ci.
Seuls les utilisateurs enregistrés peuvent poster des messages dans ce forum.

Cliquer ici pour vous connecter

Liste des forums - Statistiques du forum

Total
Discussions: 149 953, Messages: 1 517 669, Utilisateurs: 27 873.
Notre dernier utilisateur inscrit Vic33.


Ce forum
Discussions: 19 737, Messages: 199 535.

 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
Adresse Mail:

Inscription
Désinscription

Actuellement 16057 abonnés
Qu'est-ce que c'est ?
Taper le mot à rechercher

Mode d'emploi
En vrac

Faites connaître Les-Mathematiques.net à un ami
Curiosités
Participer
Latex et autres....
Collaborateurs
Forum

Nous contacter

Le vote Linux

WWW IMS
Cut the knot
Mac Tutor History...
Number, constant,...
Plouffe's inverter
The Prime page