Une preuve de trigonalisation
J'ai du mal à comprendre, dans la preuve ci-dessous, concernant la matrice de $u$ dans une base adaptée à $F$, pourquoi le bloc en bas à droite est $\lambda I_{n-p}$ (pas de problème pour les trois autres blocs) ? Est-ce une erreur ?
En d'autres termes, si l'on note $\mathcal B_F=(e_1,\dots,e_p)$ une base de $F$ que l'on complète en une base $\mathcal B=(e_1,\dots,e_n)$ de $E$, pourquoi est-ce que : $\forall j\in [\![p+1,n]\!]\quad u(e_j)=\lambda e_j$ ?
En d'autres termes, si l'on note $\mathcal B_F=(e_1,\dots,e_p)$ une base de $F$ que l'on complète en une base $\mathcal B=(e_1,\dots,e_n)$ de $E$, pourquoi est-ce que : $\forall j\in [\![p+1,n]\!]\quad u(e_j)=\lambda e_j$ ?
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Réponses
une fois la fin de la phrase "est de la forme" rectifié en "sont de la forme" (le sujet "matrices" est un pluriel), le passage d'une matrice à l'autre est assez évident, non ? Dit autrement, le bloc en bas à droite correspond à ce qui se passe sur $F$ dans une base "adaptée" (une base dont les derniers éléments sont des vecteurs propres indépendants de $u$, générateurs de F.
Cordialement.
@Alain : ce que tu dis est faux. Toute homothétie, en particulier l'identité, est trigonalisable (par exemple parce qu'elle est diagonalisable).
Une matrice carrée $A$ est trigonalisable s'il existe une matrice inversible $P$ telle que tous les coefficients sous la diagonale de $P^{-1}AP$ sont nuls. Pour une matrice diagonale comme celle de l'identité dans n'importe quelle base, on peut prendre $P$ égale à l'identité, d'où le fait (évident) énoncé par topopot.
Et pour la fin de la preuve :
Elle est beaucoup plus détaillée que celle-ci.