Une preuve de trigonalisation

topopot
topopot
dans Algèbre
J'ai du mal à comprendre, dans la preuve ci-dessous, concernant la matrice de $u$ dans une base adaptée à $F$, pourquoi le bloc en bas à droite est $\lambda I_{n-p}$ (pas de problème pour les trois autres blocs) ? Est-ce une erreur ?

En d'autres termes, si l'on note $\mathcal B_F=(e_1,\dots,e_p)$ une base de $F$ que l'on complète en une base $\mathcal B=(e_1,\dots,e_n)$ de $E$, pourquoi est-ce que : $\forall j\in [\![p+1,n]\!]\quad u(e_j)=\lambda e_j$ ?120182

Réponses

  • gerard0
    gerard0
    Bonjour.

    une fois la fin de la phrase "est de la forme" rectifié en "sont de la forme" (le sujet "matrices" est un pluriel), le passage d'une matrice à l'autre est assez évident, non ? Dit autrement, le bloc en bas à droite correspond à ce qui se passe sur $F$ dans une base "adaptée" (une base dont les derniers éléments sont des vecteurs propres indépendants de $u$, générateurs de F.

    Cordialement.
  • AlainLyon
    AlainLyon
    Le théorème est faux car l'endomorphisme identité de tout $K$-espace vectoriel de dimension $n$ n'est pas trigonalisable et son polynôme minimal est scindé.
    Les mathématiques ne sont pas vraies, elles sont commodes.
    Henri Poincaré
  • topopot
    topopot
    Ah en effet, merci gerard0.

    @Alain : ce que tu dis est faux. Toute homothétie, en particulier l'identité, est trigonalisable (par exemple parce qu'elle est diagonalisable).
  • AlainLyon
    AlainLyon
    Trigonalisable signifie que les deux diagonales encadrant la diagonale principale de la matrice d'un endomorphisme ont tous leurs coefficients égaux à $1$ et que les coefficients de cette matrice qui ne sont pas sur la diagonale principale ou sur ces deux diagonales sont nuls. L'endomorphisme identité d'un $K$-espace vectoriel de dimension $n$ est bien un contre-exemple au théorème.
    Les mathématiques ne sont pas vraies, elles sont commodes.
    Henri Poincaré
  • Math Coss
    Math Coss
    Pas du tout, tu écris n'importe quoi (et ce n'est pas la première fois).

    Une matrice carrée $A$ est trigonalisable s'il existe une matrice inversible $P$ telle que tous les coefficients sous la diagonale de $P^{-1}AP$ sont nuls. Pour une matrice diagonale comme celle de l'identité dans n'importe quelle base, on peut prendre $P$ égale à l'identité, d'où le fait (évident) énoncé par topopot.
  • topopot
    topopot
    Bref, cette preuve est selon moi mal rédigée, étonnant pour ce chapitre très bien rédigé pour l'instant. J'en ai trouvé une autre bien plus claire (selon moi encore une fois).
  • Thierry Poma
    Thierry Poma
    @topopot : bonjour. D'où sont extraits ce théorème et cette preuve, s'il te plait ? Voudrais-tu déposer l'intégralité de la preuve. Je te remercie par avance.
    Le chat ouvrit les yeux, le soleil y entra. Le chat ferma les yeux, le soleil y resta. Voilà pourquoi le soir, quand le chat se réveille, j'aperçois dans le noir deux morceaux de soleil. (Maurice Carême).
  • topopot
    topopot
    C'est extrait de https://www.decitre.fr/livres/mathematiques-2eme-annee-mp-pc-psi-9782100054121.html

    Et pour la fin de la preuve :120288
  • OShine
    OShine
    Je viens d'étudier la preuve. Celle de mon livre est limpide et parfaitement claire.

    Elle est beaucoup plus détaillée que celle-ci.
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