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Sous-anneau engendré par une partie

Envoyé par VictorTrou 
Sous-anneau engendré par une partie
il y a trois semaines
Bonjour
Soit $(A,+,\times)$ un anneau et $S\in \mathcal{P}(A)$.
L'ensemble sous-jacent au sous-anneau de $(A,+,\times)$ engendré par $S$ est
$$\Big\{ \displaystyle{\sum_{\text{ finie} } {s_{i_1}}^{n_{i_1}}\times \cdots \times {s_{i_k}}^{n_{i_k}} }\ |\ s_{i_j} \in S\ \text{ et }\ n_{i_j} \in \mathbb{N} \Big\}.

$$ Je ne suis pas sûr de comprendre la notation. Quel est l'indice de sommation ? Est-ce le même ensemble que
$$\bigg\{ \displaystyle{\sum_{(i_1,\dots{},i_k)\in I^k } {s_{i_1}}^{n_{i_1}}\times \cdots\times {s_{i_k}}^{n_{i_k}} }\ |\ I \text{ un ensemble},\ k\in \mathbb{N},\ s_{i_j} \in S\ \text{ et }\ n_{i_j} \in \mathbb{N} \bigg\}.

$$ Merci d'avance.



Edité 6 fois. La dernière correction date de il y a trois semaines et a été effectuée par AD.
Re: Sous-anneau engendré par une partie
il y a trois semaines
Bonjour.

Une fois rectifiée la notation (les $x$ sont des $s$), on a une idée naturelle : on prend l'ensemble des produits finis d'éléments de $S$. Je n'ai pas vu l'intérêt de rajouter des exposants, les puissance étant déjà des produits finis.

Cordialement.
Re: Sous-anneau engendré par une partie
il y a trois semaines
gerard0 : l'ensemble des sommes finies de produits finis winking smiley
(tu as raison pour les exposants; je pense qu'ils ont été mis pour faire le lien avec les polynômes)

Victor : Le $I^k$ dans ce que tu as écrit est un peu bizarre et fait que ce n'est pas tout à fait ça.
C'est plutôt $\{\sum_{(x_1,\ldots,x_k)\in I} x_1\cdots x_k \mid k\in \mathbb N, I\subset S^k\} $ (avec des exposants si ça nous chante mais ils ne sont pas nécessaires)

(la différence avec ce que tu as écrit c'est qu'il y a des sous-ensembles de $S^k$ qui ne sont pas de la forme $I^k$).

"Mathematics, rightly viewed, possesses not only truth, but supreme beauty"-Russell



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a trois semaines et a été effectuée par AD.
Re: Sous-anneau engendré par une partie
il y a trois semaines
Merci pour votre réponse. L'ensemble des produits finis d'éléments de $S$ est
$$\left\{ s_1\times \cdots{} \times s_n\mid n\in \mathbb{N} \text{ et } (s_1,\dots{},s_n)\in S^n\right\}.
$$ Si on regroupe les $s_i$ égaux on peut écrire
$$\left\{ {s_1}^{n_1}\times \cdots{} \times {s_n}^{n_p}\mid (p,n_1,\dots,n_p)\in \mathbb{N}^{p+1} \text{ et } (s_1,\dots,s_n)\in S^n \text{ distincts deux à deux }\right\}.

$$ Je ne retrouve pas l'ensemble donné avec votre idée.

Edit : Je viens de voir le message de Maxtimax.



Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a trois semaines et a été effectuée par AD.
Re: Sous-anneau engendré par une partie
il y a trois semaines
Merci Maxtimax pour votre réponse, c'est clair.
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