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Démonstration du théorème de Cayley-Hamilton

Envoyé par OShine 
Re: Démonstration du théorème de Cayley-Hamilton
28 avril 2021, 18:18
J'ai compris merci.

Zig un peu théorique mais j'ai compris l'idée.

Soit $f$ un endomorphisme de $E$.
$\chi_f (f)$ est un polynôme d'endomorphisme et on doit montrer $\forall x \in E, \ \chi_f(f) (x)=0$.



Modifié 2 fois. Dernière modification le 28/04/2021 19:19 par OShine.
Re: Démonstration du théorème de Cayley-Hamilton
28 avril 2021, 19:10
avatar
Oshine, à quoi sert ton $\forall x\in E$ s'il n'y a pas de $x$ dans ce que tu écris après ?
Re: Démonstration du théorème de Cayley-Hamilton
28 avril 2021, 19:19
J'ai rectifié l'oubli.
Re: Démonstration du théorème de Cayley-Hamilton
28 avril 2021, 20:12
De mon téléphone : je ne sais pas qui manipule qui entre OS et gebrane, mais une fois de plus OS a eu droit à une "correction".

Alors est-ce que OS est ultra rusé ou est-ce que gebrane avait envie de parler pendant ce confinement ? grinning smiley

Et je maintiens ce que j'ai dit.

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Re: Démonstration du théorème de Cayley-Hamilton
28 avril 2021, 20:28
avatar
Ah cc maintient ce qu'il dit. J'ai besoin de Foys d'urgence!, c'est le seul qui peut faire changer l'avis de cc
Oui, tu as vu juste, j'avais de besoin de parler sinon je vais disjoncter

Signature: Je suis de passage .
Re: Démonstration du théorème de Cayley-Hamilton
28 avril 2021, 21:15
J'espère que foys ne va pas vendre la enfin les mèches. grinning smiley

Bon allez je suis gentil. Depuis quand le point entre A et I signifie la composition ?

Pour moi A.I c'est la matrice diagonale avec chaque élément valant A. En tout cas c'est toi même qui l'a dit ...

Bon cela dit il y a aussi d'autres mèches grinning smiley mais c'était la seule mèche linguistico-nonlogique disons.

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi



Modifié 1 fois. Dernière modification le 28/04/2021 21:17 par christophe c.
Re: Démonstration du théorème de Cayley-Hamilton
28 avril 2021, 21:16
A noter que toutes les égalités que TU SUPPOSES sont vraies mais ADMISES QUAND MEME. Elles sont vraies ... par C.H. justement.

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Re: Démonstration du théorème de Cayley-Hamilton
28 avril 2021, 23:12
@gebrane je te propose un deal. Je te raconte ce qu'il se passe et tu traduis tout FORMELLEMENT à OS, qui refuse les synthèses. Je suis sur mon téléphone

1/ le déterminant mesure le volume (quel volume préciser etc lien avec formes alternées)

2/ C'est pour ça que déterminant nul caractérisé non injection. (Développe)

3/ La dimension = truc ESSENTIEL et robuste (voir suite, tu mets en musique)

4/ l'espace des matrices est de dimension fini (à n fixé)

5/ il y a donc un polynôme qui annule A

6/ il y en a donc un tel de degré minimum (IN est un bon ordre scoop)

7/ Une racine d'un polynôme min annulant A est une valeur propre de A (évident? Rédige) donc annule son polycar

8/ HA HA HA mais depuis Galois on sait que c'est pas facile d'avoir de telles racines hein?

9/ Ouais mais sauf que ici il y en a une évidente: A elle même.

10/ Donc Cayley Hamilton est vrai (car A est une valeur propre de .. A grinning smiley

A toi de faire ce qu'on appelle un "retypage" avec but que OS "synthétise".

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Re: Démonstration du théorème de Cayley-Hamilton
28 avril 2021, 23:29
@gerzrd je viens de voir ta remarque. Tu as raison je suis dyscalculique, mais ma mémoire bien qu'à éclipse n'a jamais oublié ce serpent de mer d'autant que c'est une erreur que je n'ai JAMAIS FAITE mais toujours considérée comme "voulant dire" quelque chose.

Et j'ai suivi mon adage "en maths quand on jette des hypothèses on perd quelque chose".

C'est pour ça que l'autre jour j'ai cherché le vecteur propre associé à la valeur propre A de A.

En effet l'artifice du déterminant (toujours ce petit côté artificiel des matheux qui s'associent trop à la technologie) cache que la VRAIE BONNE ERREUR c'est de dire que A valeur propre de A est un lapalissade tellement puissante qu'elle serait associée à TOUS vecteur propre (comme le dit l'erreur)

Ca n'en est pas une certes mais à tout le moins on pouvait se demander si de tout on passe à rien. Et bien non.

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi



Modifié 1 fois. Dernière modification le 28/04/2021 23:29 par christophe c.
Re: Démonstration du théorème de Cayley-Hamilton
29 avril 2021, 08:55
Christophe,

inutile d'essayer de me convaincre avec ce genre de baratin, je te l'ai déjà dit : "je ne te crois pas" (=Je ne crois pas que ce qu'écrit CC a systématiquement du sens"), et j'ai seulement constaté que tu voyais ici une preuve du type que tu as dit alors que ce n'était pas ça. Tu es tellement persuadé de ne jamais te tromper (tu en avais fait un fil, il y a quelques années) que tu ne regardes pas vraiment ce que les autres écrivent. Tu parles seulement de ce qui t'intéresse, en reprenant des mots du message auquel "tu réponds".

C'est dommage, avec un peu d'humilité tu pourrais être efficace.

Cordialement.

Inutile de polémiquer sur ce que je viens de dire, tu confirmerais ce message. Et moi j'arrête-là, mon message initial s'adressait à Gebrane, pas à toi.
Re: Démonstration du théorème de Cayley-Hamilton
29 avril 2021, 09:03
Gérard, je ne comprends ni ton "agressivité" (intellectuelle), ni de quelle erreur (puisque c'est tout de même ça TON sujet) tu parles.

Tu as l'air de dire que je ne reconnais pas mon erreur, ou que je ne reconnais pas mes erreurs. (Le reste = effet de manche)

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Re: Démonstration du théorème de Cayley-Hamilton
29 avril 2021, 09:07
Je précise au moins un point dans ma question précédente: m'attribues-tu d'avoir affirmé qu'il était évident que
$$
P_A(A) = det(A - A.id) det(A-A)

\quad?

$$ Si tu penses ça, je te le dis pour toi, tu te trompes, mais c'est même étonnant que tu te trompes en fait. J'ADORE me gourer, et je serais RAVI de faire une telle erreur du reste (enfin sauf pour le signe de vieillesse que ça enverrait).

(Mais c'est dommage que tu sois braqué comme ça, en fait)

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi



Modifié 1 fois. Dernière modification le 29/04/2021 15:37 par AD.
Re: Démonstration du théorème de Cayley-Hamilton
29 avril 2021, 10:26
Ton erreur a été précisée, tu ne le comprends pas, tant pis ... C'est toujours comme ça. Si d'autres l'acceptent, tant mieux pour eux. Moi pas, et c'est pour ça que je n'interviens pas dans tes discussions interminables où tu baratines sans jamais répondre effectivement à ceux qui essaient de te comprendre.
Et ça fait 15 ans que ça dure, donc je renonce ("je suis braqué", comme tu dis .. à qui la faute)
Re: Démonstration du théorème de Cayley-Hamilton
29 avril 2021, 10:50
Mouais. Je maintiens qu'il n'y a aucune erreur dans ce que j'ai dit qui a précédé ton premier post courroucé.

Par ailleurs, ce réflexe de courroux m'étonne parce que tu devrais en avoir conscience.

C'est pas comme si j'étais quelqu'un qui poste peu et ne reconnais pas ces erreurs que tu essayais d'ouvrir à une remise en cause.

Je suis une personne qui poste beaucoup DONC une quantité en conséquence d'erreurs que je reconnais dès qu'on me les signale, et quels que soient ce qui te dérange chez moi, je pense que tu ruses et ne penses pas ce que tu dis et essaies de trouver quelque chose que tu voudrais vexant.

Le mystère c'est "pourquoi ruser quand on pourrait parler franchement ?"

Sur ce dommage que tu ne profites pas du fait que j'ai dit "je maintiens ce que j'ai dit".

Si j'avais fait une erreur quel intérêt aurait que je poste cette réplique?????

Mais apparemment "tu ne bougeras pas" de ta position entêtée. Je te laisse à ta "colère". Peut être un jour auras tu envie de relire les maths évoquées. Va ne changera certes pas ton salaire on est bien d'accord.

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Re: Démonstration du théorème de Cayley-Hamilton
29 avril 2021, 13:47
avatar
cc Tu veux me faire disjoncter ?
Une dernière tentative pour montrer ton erreur
Travaillons dans $M_n(\R)$ et soit $A\in M_n(\R)$ et soit $P_A$ le polynôme caractéristique de A, on a $\displaystyle \forall x \in \R, P_A(x)= \det ( xI-A)$, l'erreur qui est une erreur de raisonnement est dans cette première égalité où je remplace $x$ ou si tu veux l'indéterminé par A pour obtenir $P_A(A)= \det ( AI-A)$ et notons b le nombre $b=\det ( AI-A)$
Tu me dis que cette première égalité est vraie en utilisant le résultat que je veux démontrer. Mais comprends-tu, ou tu veux me rendre fou ? qu' au niveau de cette première égalité , je n'ai pas encore calculer le b, je ne sais rien sur b, je ne sais pas si b est nul , comment utiliser CH pour justifier cette première égalité sachant que je n'ai pas démontré que b est effectivement nul. Je le démontre dans les deux égalités qui suivent

Signature: Je suis de passage .
Re: Démonstration du théorème de Cayley-Hamilton
29 avril 2021, 14:33
avatar
gebrane : Je pense que ce que CC veut pointer, c'est qu'un texte mathématique n'est jamais parfaitement transparent? A chaque étape du raisonnement, on admet un résultat.
Il reste à juger la hauteur tolérée des résultats admis...

Ici, le raisonnement et les calculs sont parfaitement corrects, mais le résultat intermédiaire admis est exactement celui qu'il faut prouver. La plupart des matheux se rendront compte d'une telle "supercherie", mais ce n'est pas une erreur en soi.

Si dans ton calcul, tu avais explicité que tu "remplaces X par A" ou mieux que tu "appliques le morphisme truc-bidule" alors là, il y aurait eu une erreur, car on ne peut pas appliquer ce morphisme pour les raisons que tu évoques... Mais ce n'est pas ce qui était écrit.

Sur une copie, à cet endroit du raisonnement, j'aurais écrit "Comment le prouves-tu ?" et je n'aurai pas mis les points car cela ne respecte pas la hauteur de résultats admis que je tolère, mais je n'aurais certainement pas écrit que c'est faux.
Re: Démonstration du théorème de Cayley-Hamilton
29 avril 2021, 14:47
Bon écoute, tant pis pour OS, je vais te mâcher le travail.

1/ Dommage que les cris de Gérard t'aient peut-être induit en erreur

2/ gebrane: pour montrer ton erreur. Bon, je vais te donner un extrait de ma life, puisque ça a l'air de te paraitre possible. Je viens sur le forum depuis 15ans, je suis logicien, et je n'ai jamais accordé à l'algèbre linéaire (avant de venir) une importance énorme. En particulier, il ne m'est JAMAIS arrivé d'avoir "besoin" de faire cette "ERREUR" (qui je le rappelle est GROSSIERE, est connue de tous comme un serpent de mer). Par contre, j'ai eu BIEN DES FOIS à échanger sur elle (alors même que tel ou tel étudiant venait de la faire sur le forum ou que tel ou tel "philosophe" voulait lui trouver un sens caché).

3/ Donc, je veux bien avoir atteint un stade très avancé d'Alzheimer, mais tout de même, si je pouvais me vexer sur ces choses, je le serais sacrément grinning smiley grinning smiley grinning smiley . Te rends-tu compte que c'est comme si toi (et Gérard, bien que lui, il n'a pas pensé que je la faisais, mais visait tel ou tel but idéologique sans le dire franchement (ie me forcer à présenter autrement ce que je disais parce que cette manière de procéder en faisant mariner les gens lui déplait)) me disaient avec insistance que je me trompe si j'affirme que 45+7 = 42? Comme si tu me disais que j'ai oublié la retenue et que je refusais de l'admettre?

4/ qui est une erreur de raisonnement Non! Ce n'est pas une erreur de raisonnement, les admis sont formels et la conclusion est formelle, il ne peut donc pas y avoir d'erreur de raisonnement. Un problème de raisonnement c'est quand tu ne sais pas ce qui est supposé ou affirmé. Or ici, tout est clair.

5/ Je raccourcis à peine, mais un peu, puisque je vais me concentrer sur ce que tu as répondu (J:= matrice identité):

5.1/ Tu affirmes que A=>Truc. Et je te dis que c'est vrai et non erroné.

5.2/ Tu me réponds
"non, A est possiblement faux".
Donc tu me réponds "non, il est possible que non(A)".
Donc tu me réponds "Non, il est possible que A=>Tout".

Ce à quoi je réponds: je maintiens. Et de fait, si A=>Tout, alors A=>Truc.

5.3/ Ce qui précède est l'aspect logique, je n'ai rien modifié et tu pourras encore le lire dans ce que je t'ai dit, juste avant que Gérard ne t'installe dans l'ambiguité.

5.4/ Je passe maintenant à l'aspect non "spécifiquement" logique, à savoir $[\forall X, \ P(X) = \det(XJ-A)] \to P(A)=\det(AJ-A)$

5.5/ il y a plusieurs choses à dire.

5.5.1/ La remarque serpent de mer qui consiste, comme tu le dis, à mettre $A$ à la place de $X$ à cause du symbole $\forall$, sous-entendu, mais indu. Ça, c'est un aspect que tu as bien compris puisque tu es prêt même à l'exposer doctement comme erreur à ne pas faire.

5.5.2/ Mais il y a autre chose, qui est beaucoup plus important dans l'erreur : c'est quand OS écrit :
$$
\det(A.J-A) = \det(A-A).

$$ Hélas, ce point, pourtant bien plus important et significatif, qui lui aussi constitue ce que tu appellerais "une erreur" (bien que ce soit, vrai, mais non valable, car non évident) est souvent passé sous silence (et en fait même TOUJOURS passé sous silence). On privilégie toujours 5.5.1 qui est très superficiel.

Or si OShine écrit ça, c'est parce que qu'il considère que le point VEUT DIRE $\circ$ selon lui. Or cette affirmation est beaucoup moins excusable que la précédent.

5.5.3/ Une tradition veut qu'on "type" souvent les objets en maths donc que le $\forall$ n'est pas légitime. Alors qu'en fait, de ça, on s'en fiche un peu ce n'est pas très important pour "la science". Par contre, l'expression $X.J$ signifie : LE SCALAIRE (peu importe ce que veut dire scalaire) multiplié EXTERNEMENT par la matrice $J$)

Autrement dit, $A.J$ veut juste dire la matrice (dont les coefficients SONT DES MATRICES du coup) $diag(A,A,A,...,A)$

Il n'y a VRAIMENT AUCUNE RAISON de prétendre que $A\circ J$. Et d'ailleurs, la preuve en est qu'on note bien $\det(X.J-A)$ et non pas $\det(X-A)$. À quoi servirait le $J$ sinon ?

6/ Et c'est dommage que tu n'aies pas lu attentivement et que tu aies plus eu envie de "corriger une erreur" ce dont je te remercie pour le temps que ça peut t'avoir coûté), puisqu'EN PLUS, si tu avais bien lu tu aurais découvert un truc que tu ne savais peut-être pas est que le théorème de Cayley Hamilton est "trivial", justement à la suite de ces remarques.

7/ Je ne t'apprendrai pas, je l'espère qu'il existe un polynôme $P$ qui annule $A$. Parmi eux un polynôme $P$ qui a le plus petit degré possible. On a donc
$$
(X-A) \times Q(X) = P(X),

$$ avec AU MOINS un vecteur $u$ tel que $Q(A)(u)\neq 0$, ce qui fait du SCALAIRE $A$ (dans l'anneau engendré par elle dans $S:=M_n(K))$) une valeur propre de $A$ dans ce même anneau.

Cela veut dire que $A-scalaire(A).Identite_{M_n(S)}$ n'est pas injective

En toute rigueur, ça te dit que $Polycar_A(A)$ est nilpotent, il faut dépoussiérer ça pour mettre "nul" à la place, mais c'est tout.

Comme quoi, tu vois, il vaut mieux toujours lire l'AUTRE avant de le "reprendre". Ca s'applique aussi à Gérard, mais il est majeur et vacciné et très "constant" dans son idéologie, donc je ne me fatiguerai pas grinning smiley

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi



Modifié 1 fois. Dernière modification le 29/04/2021 15:55 par AD.
Re: Démonstration du théorème de Cayley-Hamilton
29 avril 2021, 15:22
Pour une version compréhensible de ce que dit cc, voir le §3 de ce texte.
Re: Démonstration du théorème de Cayley-Hamilton
29 avril 2021, 15:39
De mon téléphone. Merci MC. Bon j'ai vu des diagrammes et des histoires de comatrices.

C'est peut être plus typé correctement, mais la facilité pour un étudiant ne me paraît pas évidente.

Bon après je suis sur mon téléphone et la visualisation des pdf...

Je redis en une ligne ce que j'ai dit, mais sans fioritures : en regardant A comme a coefficients dans le sur anneaublabla, le "scalaire A" en est une valeur propre. RIEN DE PLUS mais c'est CH (à la nilpotence près).

Pas de calculs
Pas de connaissances
Pas de longueur
Pas d'inspiration

En termes L1 les racines du polynôme minimal de A sont TOUTES des racines du polynôme caractéristique de A, car ce sont des valeurs propres.

JE NE DIS RIEN DE PLUS!! Et c'est "trivial".

Bon mais après oui c'est "volontairement" transtype pour le dire de manière snobe.

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Re: Démonstration du théorème de Cayley-Hamilton
29 avril 2021, 15:53
Toujours de mon téléphone. En toute rigueur, je ne traité pas du tout la nilpotence (si ça peut aider de redire ça). A est annulée par UNE PUISSANCE de son polycar est un énoncé TRIVIAL une fois méditation non tendue opérée par exemple dans un bain.

C'est juste que polymin qui par définition annule A a toutes ses racines annulant le polycar.

Gebrane tu peux te fixer sur l'idée que je 'e dis que ça si tu veux puis prendre un bain et méditer.

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Re: Démonstration du théorème de Cayley-Hamilton
29 avril 2021, 15:54
Le problème de l'expression $A\cdot J-A$, c'est de mélanger $A\cdot J$, qui est une matrice $n\times n$ à coefficients dans $\mathcal{M}_n(\C)$, et $A$ qui est une matrice $n\times n$ à coefficients dans $\C$. Il faut imaginer que les coefficients du deuxième $A$ sont en fait $a_{ij}\mathrm{I}_n$. Autrement dit, on travaille dans $\mathcal{M}_n(\C[A])$ (ou bien $\mathcal{M}_n(\mathcal{M}_n(\C))$ qui a le grave inconvénient, le déterminant n'y est pas défini convenablement ou du moins, n'y a pas les bonnes propriétés car l'anneau $\mathcal{M}_n(\C)$ n'est pas commutatif). Il est sans doute plus facile de travailler dans l'anneau $\mathcal{M}_n(\C[X])$ des matrices à coefficients polynômes.
Re: Démonstration du théorème de Cayley-Hamilton
29 avril 2021, 15:56
avatar
Merci Math Coss et merci pour ton lien sur 3 Formule de la comatrice
Bon , assez squatté ici, je prends mes valises au forum d'analyse

Signature: Je suis de passage .



Modifié 1 fois. Dernière modification le 29/04/2021 15:57 par gebrane.
Re: Démonstration du théorème de Cayley-Hamilton
29 avril 2021, 16:41
@Math Coss, oui bien entendu, mais l'anneau engendré par $A$ dans $M_n(K)$ est commutatif, même si tout l'anneau ne l'est pas.

De toute façon, attention, je donnais surtout une invitation à méditer pluss qu'une preuve technlogique. Cayley Hamilton dispose de nombreuses preuves, il me parait simplement intéressant les gens à voir que sans aucune connaissance d'algèbre linéaire autre que la dimension, ils peuvent "y croire" sans problème.

Les changements d'anneaux, les problèmes de non intégrité des anneaux touchés, etc, ne disparaissent pas.

Etant sur un pc, je redis ce qu'il se passe, et signale l'endroit méditatif.

1/ Soit $Q$ un polynôme MINIMAL au niveau du degré qui annule $A$. Il en existe (pourquoi?)

2/ Comme on ne sait pas dans quel corps on est, rien n'indique même qu'il ait au moins une racine.

3/ Mais comme la question traitée ne dépend pas du corps, on peut le supposer scindé (pourquoi?)

4/ Ses racines sont des valeurs propres de $A$ (pourquoi?)

5/ Elles sont donc toutes racines du polycar $P$ de $A$.

6/ Il suit que $Q$ divise une PUISSANCE de $P$

7/ il existe un entier $n$ tel que $(P^n)(A)=0$

--------------------------


a/ Jusque là, je n'ai utilisé que des bases du L1-L2.

b/ Aspect méditatif: à l'étape (3), j'ai psychologiquement évoqué un truc confortable qui est qu'on peut rajouter des racines à un polynôme non contant dans provoquer de crash sur $0=1$. (Cet aspext-là n'est peut-être plus tellement sensibilisé en L1-L2, je ne sais pas)

c/ Mais ce n'est que psychologique. En effet, Monsieur de Lapalisse lui-même confirmera que $A$ est bien une racine des polynômes qui annulent $A$.

d/ C'est là que le méditatif vient: "pas besoin de (3)". La matrice $A$ elle-même vue comme scalaire, c'est à dire élément deu plus petit sous-anneau $B$ (commutatif) de $M_n(K)$ contenant $A$ est une valeur propre de $A$ vue comme matrice vivant dans $M_n(B)$.



Evidemment que les manuels académiques ne vont pas raconter les choses de cette façon***. Mais il ne me semble pas utile de se priver d'en faire profiter les gens non grognons. Après, rien n'interdit aux grognons de vivre leur vie grinning smiley

*** et pourtant, ce n'est à coût constant. Entre le tour de magie de (3) "wesh, vas y on sait qu'on peut inventer des existences de racines, laisse tomber trop cool" et la réalité sans dépense "ah bin, une valeur propre, on en a une, et en plus celle qu'on veut, à savoir $A$", il y a quand-même un conflit "écolos" (au sens noble) VS "non écolos" qui est bien réel...

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Re: Démonstration du théorème de Cayley-Hamilton
29 avril 2021, 17:53
avatar
J'ai l'impression que CC explique un truc (petit pavé) puis se dit que finalement ce n'était pas assez clair (euphémisme), du coup il rajoute un autre truc censé éclaircir le premier (autre petit pavé), puis ce deuxième truc mérite à son tour un éclaircissement, allez on en rajoute encore un pour le fun (troisième petit pavé)...

Puis arrive la perle :

Citation
CC
Evidemment que les manuels académiques ne vont pas raconter les choses de cette façon***

Moui encore heureux grinning smiley


PS. Plus sérieusement, en lisant une ou deux fois je vois qu'il y a un propos sensé bien submergé par les habituelles fioritures incompréhensibles mais personnellement j'ai la flemme de décrypter soigneusement... et surtout arrivé au dernier message qui devrait tout expliquer j'ai perdu l'envie. Bon j'admets ne pas être très patient.



Modifié 1 fois. Dernière modification le 29/04/2021 17:55 par raoul.S.
Re: Démonstration du théorème de Cayley-Hamilton
29 avril 2021, 18:04
Bonjour,

Ça fait bien longtemps que j'ai renoncé à comprendre ce que raconte CC du point de vue mathématique.
Il faudrait enlever au moins $80\space\%$ du contenu de ses messages, malheureusement, je ne sais pas quels $80\space\%$ enlever.

Cordialement,

Rescassol
Re: Démonstration du théorème de Cayley-Hamilton
29 avril 2021, 18:55
Je crois que je n'ai pas compris pourquoi on ne peut pas écrire $\chi_A (A)=\det( A I_n -A)=\det(O)=0$

Les messages trop techniques avec les anneaux et les algèbres de Zign et autres m'ont perdu.
Re: Démonstration du théorème de Cayley-Hamilton
29 avril 2021, 19:58
O Shine :
Dans $\displaystyle \forall x \in \R, P_A(x)= \det ( xI-A)$ peut on prendre pour $x$ une matrice ?
Christophe parle d'autre chose sans lire, sous prétexte qu'on peut faire un calcul analogue (mais l'analogie n'est pas un outil de preuve), d'ailleurs tu verras, si tu relis, qu'il remplace $x$ par $X$ (ce n'est pas innocent) et que le $\in \R$ a disparu !!
Quand on est de mauvaise foi ...

Cordialement.



Modifié 1 fois. Dernière modification le 29/04/2021 20:18 par AD.
Re: Démonstration du théorème de Cayley-Hamilton
29 avril 2021, 20:02
Gerard les polynômes de matrice existent donc pourquoi ne pas prendre $x=A$...

Si j'ai $P(X)=X-1$ j'ai $P(A)=A-I_n$
Re: Démonstration du théorème de Cayley-Hamilton
29 avril 2021, 20:15
Sauf que $\det(XI_n - A)$ n'est pas sous forme polynomiale comme $X-1$ l'est.
Re: Démonstration du théorème de Cayley-Hamilton
29 avril 2021, 20:18
Ah d'accord.

Il faut d'abord expliciter le polynôme $\det(X I_n-A)$ et ensuite on peut calculer le polynôme de matrice.
Re: Démonstration du théorème de Cayley-Hamilton
29 avril 2021, 20:34
"quand on est de mauvaise foi".

Gérard ton manque de respect a des limites d'autant que la mauvaise foi SEMBLE de ton côté. Mais je n'en suis pas sur vu que tu n'as rien lu.

Pour ce qui me concerne j'ai détaillé et reformulé suite à une demande de gebrane.

Je te prierais d'être plus correct et factuel à l'avenir, tu n'es pas mon tuteur. Merci d'avance.

OShine : la charge de la preuve en maths est de ton côté. "Pourquoi on ne peut pas faire ci où ça" mérite comme réponse mathématique "pourquoi on pourrait" avec charge, à toi, de le justifier.

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi



Modifié 1 fois. Dernière modification le 30/04/2021 00:31 par AD.
Re: Démonstration du théorème de Cayley-Hamilton
29 avril 2021, 20:41
Pour parler de "manque de respect", tu devrais commencer par balayer devant ta porte. Je n'ai fait que citer ton mépris pour Gebrane, et le qualifier. Ta tricherie avec ce $x$ qui devient $X$ est quand même très factuelle, non ???

Et tu n'es pas non plus mon tuteur, tout au plus un intervenant quelconque sur ce forum, comme moi.

Ciao !
Re: Démonstration du théorème de Cayley-Hamilton
29 avril 2021, 20:43
OShine, avant d'essayer de comprendre une démonstration dans le cas général, tu pourrais commencer par regarder ce qui se passe pour les matrices 2x2.

Le polynôme caractéristique de $A=\begin{pmatrix}a&b\\ c& d\end{pmatrix}$ est $P_A(X)=\begin{vmatrix}X-a&-b\\ -c& X-d\end{vmatrix}$.

Déjà, tu vois qu'on ne peut pas "remplacer" ici $X$ par $A$ car $\begin{vmatrix}A-a&-b\\ -c& A-d\end{vmatrix}$ ne veut rien dire. Donc, tu comprends que $P_A(A)=\det(A\cdot I_2-A)=0$ ne peut pas être correct.

Ensuite, si tu développes, tu obtiens $P_A(X)=X^2-(a+d)X+ad-bc$. Tu dois alors simplement vérifier que $A^2-(a+d)A+(ad-bc)I_2=\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}$. Je te laisse faire le calcul.

Bien sûr, ça ne donne pas d'idée pour traiter le cas général, mais au moins ça permet de bien comprendre les objets en jeu.
Re: Démonstration du théorème de Cayley-Hamilton
29 avril 2021, 20:43
Christophe c je n'ai pas encore assez de recul, j'ai l'impression d'avoir découvert les polynômes de matrice il y a 2 semaines.

Je ne sais pas ce que je foutais en prépa mais apparemment en algèbre je n'avais rien compris aux objets que je manipulais.
Re: Démonstration du théorème de Cayley-Hamilton
29 avril 2021, 20:45
avatar
Christophe, je te trouve très sympathique, mais là, il me semble que tu exagères un peu : tout le monde te dit que ce que tu racontes, sans être absoluement faux en soi, est à la fois d'une technicité et d'un caractère conceptuel que tu refuses absolument d'assumer. Du coup, tes propos ressemblent beaucoup à du baratin pour la plupart des gens : les étudiants, et les gens qui ont déjà corrigé des copies !
Re: Démonstration du théorème de Cayley-Hamilton
29 avril 2021, 21:15
Je ne comprends pas le langage de Christophe mais je sais que des personnes compétentes sur forum comme JLT comprennent tout ce qu'il dit et arrivent à résoudre ses exos donc je me dis que c'est juste moi je n'ai pas le niveau pour comprendre ses messages.
Du coup je ne me permettrais pas de critiquer Christophe c.

@Marsup
Merci, en effet c'est plus parlant sur un exemple concret.
Re: Démonstration du théorème de Cayley-Hamilton
29 avril 2021, 22:31
avatar
Je précise, à toutes fins utiles, que cc affirmait ici il y a 12 ans ceci :
« La faiblesse de ton raisonnement est donc d'affirmer que P(A)=det(A-A) ».



Modifié 1 fois. Dernière modification le 30/04/2021 00:36 par AD.
Re: Démonstration du théorème de Cayley-Hamilton
29 avril 2021, 22:33
avatar
@OShine je critique CC sans vergogne car comme dit Rescassol il poste (et se complaît ?) des messages qui contiennent un pourcentage élevé de "fioritures" qui rendent le tout particulièrement incompréhensible. Donc un peu de critique de temps en temps est un juste retour de bâton je trouve. C'est le karma ? smoking smiley

Ceci dit parmi tous les messages qu'il a posté ci-dessus il y a celui-ci qui répond à ta question : [www.les-mathematiques.net] (voir uniquement les points 5.5.2 et 5.5.3).

Je vais en extraire l'essentiel : l'expression $X\cdot I-A$ signifie :
$$
\begin{pmatrix} X & & 0 \\
& \ddots & \\ 0
& & X \end{pmatrix}-A

$$ c'est donc une matrice qui a pour coefficients des polynômes. Donc tu vois bien que lorsque tu remplaces $X$ par $A$ tu n'obtiens pas $A-A=0$.



Modifié 1 fois. Dernière modification le 30/04/2021 00:38 par AD.
Re: Démonstration du théorème de Cayley-Hamilton
29 avril 2021, 22:34
avatar
Bravo Ibni, c'est hilarant ! thumbs downgrinning smileyspinning smiley sticking its tongue outsmiling bouncing smileyhot smileysmoking smiley

[www.les-mathematiques.net]

En fait, ce qu'il s'est passé c'est qu'en 12 ans, Christophe a trouvé son superthéorème de Cayley-Hamilton (qui est en effet vrai, et bien connu, mais un peu conceptuel), et que, depuis, il dit à tout le monde que c'est évident (alors que ce n'est pas si clair !)



Modifié 1 fois. Dernière modification le 29/04/2021 22:38 par marsup.
Re: Démonstration du théorème de Cayley-Hamilton
29 avril 2021, 22:42
Développons, comme le propose Bintje, le calcul en dimension deux, mais au sens de cc : \begin{align*}\newcommand{\I}{\mathrm{I}_2}
\det(A\cdot J-A)&=\det\left(\begin{pmatrix}A&0\\0&A\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}a\I&b\I\\c\I&d\I\end{pmatrix}\right)\\
&=\det\begin{pmatrix}A-a\I&-b\I\\-c\I&A-d\I\end{pmatrix}\\
&=(A-a\I)(A-d\I)-bc\I\\&=A^2-(a+d)A+(ad-bc)\I\in\C[A],\end{align*}qui est bien la matrice nulle... d'après le théorème de Cayley-Hamilton ! (Bon, on peut aussi le vérifier directement...)

Edit : "matrice" au lieu de "polynôme" dans la dernière phrase.



Modifié 1 fois. Dernière modification le 29/04/2021 23:03 par Math Coss.
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