Calcul exact avec les parties entières
Bonjour,
Soit $k,\,n>2$ des entiers, on note $E$ la partie entière, montrer que :
$$\small E\Big(\frac{(n-1)^2}{n}\Big)+\cdots+E\Big(\frac{(n-1)^k}{n}\Big)=\frac{(n-1)^{k+1}-1}{n(n-2)}-E\Big(\frac{k+1}{2}\Big)-\frac{1+(-1)^k}{2n}$$
Soit $k,\,n>2$ des entiers, on note $E$ la partie entière, montrer que :
$$\small E\Big(\frac{(n-1)^2}{n}\Big)+\cdots+E\Big(\frac{(n-1)^k}{n}\Big)=\frac{(n-1)^{k+1}-1}{n(n-2)}-E\Big(\frac{k+1}{2}\Big)-\frac{1+(-1)^k}{2n}$$
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Réponses
Selon que $l$ est pair ou impair, la partie fractionnaire de $\frac{(n-1)^l}{n}$ est $\frac{1}{n}$ ou $1-\frac{1}{n}$; il s'en suit que la somme des parties entières de $\frac{(n-1)^l}{n}$ et de $\frac{(n-1)^{l+1}}{n}$ égale $\frac{(n-1)^l}{n} + \frac{(n-1)^{l+1}}{n}-1$, soit $(n-1)^l-1$. La somme sur $l$ de cette égalité donne ta formule... qui est un peu artificiellement close.:-)
Merci pour tes questions.
Cordialement
Paul
Bravo.
En voici un, un peu plus difficile :
énoncé 113 :
Soit $p$ un nombre premier et $b$ un élément primitif dans $(\Z/p\Z)^*$.
Montrer que :
$$E(\frac{b}{p})+...+E(\frac{b^{p-1}}{p})=\frac{b^p-b}{p(b-1)}-\frac{(p-1)}{2}$$
[size=x-small]@Depasse : merci pour les encouragements.[/size]
Bonne journée.
$b$ étant primitif, l'ensemble des parties fractionnaires des $b^i/p$ est l'ensemble des $i/p$; leur somme est $(p-1)/2$.
La somme des $b^i/p$ est $\frac{b^
p-b}{p(b-1)}$.
Comme un nombre est la somme de sa partie entière et de sa partie fractionnaire, on obtient ta formule.
Cordialement
Paul
Montrer que, pour tout $n\in \N^*$ $$
1+E\big((\sqrt{2}+1)\big)+\cdots+E\big((\sqrt{2}+1)^n\big)=E\Big(\frac{(\sqrt{2}+1)^{n+1}-1}{\sqrt{2}}\Big)-E\Big(\frac{n}{2}\Big) $$
Montrer que pour tout $a\in \N^*$ avec $a=a_0+\cdots+a_k2^k$ en base 2 : $$ E\Big(\frac{a}{2}\Big)+\cdots+E\Big(\frac{a}{2^{k}}\Big)=a-a_0-\cdots-a_k$$
$$S=\frac{qr(r+1)}{2}-p \times E(\frac{qr(r+1)}{2p})$$
$$ n = \sum_{a=1}^n \left( \left\lfloor \frac{n}{a} \right\rfloor - \left\lfloor \frac{\left\lfloor \frac{an}{a+1} \right\rfloor}{a} \right\rfloor \right) = \sum_{a=1}^n \left( \left\lfloor \frac{\left\lfloor \frac{(a+1)n}{a} \right\rfloor}{a+1} \right\rfloor - \left\lfloor \frac{n}{a+1} \right\rfloor \right) \text{.}$$
Je n'ai aucune idée de comment faire, ni si c'est difficile (ça ne m'inspire pas trop). J'avais obtenu ça un jour en foirant la résolution d'un exercice. La solution était simplement n et j'avais trouvé ces deux horribles formules. Je ne me souviens plus de l'exercice, malheureusement.
Algorithme (php)
Article sur l'Unicité
...
Tiens pour preuve.
Factorisation de tous les 100^100 n pour tout a ou a = b racine c mod e.
Allez hoop !
https://bitbucket.org/okechoby/the-100-100-grid/src
Dénombrer le nombre de manières d'écrire un entier n sous la forme $a_1 + a_2 + \cdots + a_k$ avec les $a_i$ des entiers strictement positifs croissants (pas forcément strictement) et $a_i - a_1 \leq 1$.
Bonne soirée.
Désolé, j'allais faire le dictateur. Toi et ton énoncé, sont les bienvenus.
Merci encore et bonne nuit.
[Inutile de recopier l'avant dernier message. Un lien suffit. AD]
Oui, malheureusement, par la maléabilité des citations, une fois la source modifié, la citation s'en voit modifier. So ! ... La dernière ligne inclut désormais une définition imparfaite.
Et ben voila ! Merci ! C'est donc bien un énoncé qu'on appelle des identités d'union. Y a tout un ensemble qui en a dérivé à la suite de mes travaux.
Donc, merci !
Apparemment mon propos à disparu.
----
Pour rappel. Les identités d'union, se forment pour les equations rapportant par leur décomposition spécifique, le retour de la valuer d'union : 1.
Il est également à noter que ces décompositions ont une capacité à devenir des Variétés.
Par extensions, ces variétés par foncteurs ou compositions, se transforment en Topoï et de fait, inclut toutes les possibilités, soit par extension fonctorielle, soit par composition, etc... de devenir une catégorie, triviale ou non triviale dans l'ensemble de l'éventail de tous les groupes possibles.
Après y a plus qu'à jouer...
Moi j'ai modifié ma structure algébrique pour produire une membrane sur Z(n)/Z ^ /infty .
je vois qu'on peut poster des résultats avec les parties entières ici (bon après ça serai chouette d'ouvrir un topic comme ça mais désolé si j'ai mal compris )
j'ai un truc sympa (ma démo 16 pages format A4 certes j'ai pas pu faire plus court mais bon à mon avis c'est faisable de faire plus court)
pour partie entière j'utilise la notation [...]
ci-dessous $l,m,n$ tous dans $\mathbb {N}^*$ tels que
$0<m<n$
$\frac {n}{m}>\begin {bmatrix}\frac {n}{m}\end {bmatrix}$
$r=n-m \begin {bmatrix}\frac {n}{m}\end {bmatrix}$
$\frac {m}{r}>\begin {bmatrix}\frac {m}{r}\end {bmatrix}$
$u_0=1+ \begin {bmatrix}\frac {m}{r}\end {bmatrix}$
$u_0<l$
alors en posant
$v=1+ \begin {bmatrix}\frac {lr}{m}\end {bmatrix}$
$t=u_{v-2}$
selon pour tout $i\in \mathbb {N}$ alors
-lorsque $\frac {(i+1)m}{r}= \begin {bmatrix}\frac {(i+1)m}{r}\end {bmatrix}$ on obtiens $u_i= \begin {bmatrix}\frac {(i+1)m}{r}\end {bmatrix}$
-lorsque $\frac {(i+1)m}{r}> \begin {bmatrix}\frac {(i+1)m}{r}\end {bmatrix}$ on obtiens $u_i=1+ \begin {bmatrix}\frac {(i+1)m}{r}\end {bmatrix}$
donc comme je viens de le dire $u_0=1+ \begin {bmatrix}\frac {m}{r}\end {bmatrix}$
et en posant pour tout $ i\in \mathbb {N}^*$ alors $h_i$ selon
$h_1=u_0$
et pour tout $ i>1$ alors $h_i=u_{i-1}-u_{i-2}$
________________________________
On vérifie
-lorsque $v=4$ alors
$\sum _{u=1}^{l} \begin {bmatrix}\frac {un }{ m }\end {bmatrix}= \begin {pmatrix} \begin {bmatrix}\frac {n }{m }\end {bmatrix} +\frac {r}{m} \end {pmatrix} \begin {pmatrix}\frac { l^2+l }{ 2 }\end {pmatrix} +3(l-t+1)+\frac {r}{2m}(t-l-1)(l+t)+.... $
suite $...+\frac {ru_0^2 }{2m }+\frac {rt }{2m } -\frac {rtu_0 }{m } - \frac {rh_2h_3 }{ m } -\frac {rh_2^2 }{2m } -\frac { rh_3^2 }{ 2m }+h_2+2h_3$
-lorsque $v\geq 5$ est impair et tel que $2m-r-2r\begin {bmatrix}\frac { m }{ r }\end {bmatrix}=0$ alors
$\sum _{u=1}^{l} \begin {bmatrix}\frac {un }{ m }\end {bmatrix}= \begin {pmatrix} \begin {bmatrix}\frac {n }{m }\end {bmatrix} +\frac {r}{m} \end {pmatrix} \begin {pmatrix}\frac { l^2+l }{ 2 }\end {pmatrix} +(l-t+1)(v-1)-\frac {rl}{2m}(l+1)+\begin {pmatrix}\frac { v^2+v }{2 }-4v+4\end {pmatrix}u_0+...$
suite $...+\frac {3v}{2}-\frac {v^2}{4} +2t-h_2-\frac {9}{4}$
-lorsque $v\geq 6$ est pair et tel que $2m-r-2r\begin {bmatrix}\frac { m }{ r }\end {bmatrix}=0$ alors
$\sum _{u=1}^{l} \begin {bmatrix}\frac {un }{ m }\end {bmatrix}= \begin {pmatrix} \begin {bmatrix}\frac {n }{m }\end {bmatrix} +\frac {r}{m} \end {pmatrix} \begin {pmatrix}\frac { l^2+l }{ 2 }\end {pmatrix} +(l-t+1)(v-1)-\frac {rl}{2m}(l+1)+\begin {pmatrix}\frac { v^2+v }{2 }-4v+4\end {pmatrix}u_0+...$
suite $...+2t-h_2+2v-\frac {v^2}{4}-4$
@Fluo : Peux-tu expliciter le résultat que tu prouves ?
Merci.
Bonne journée.
on en a pas besoin(je l'ai calculé mais là elle sert à rien dans la formule)
mais c'est dans cet exemple là ...
bonjour pourexemple
par exemple pour
$m=20017$
$n=40108$
$l=50017$
on obtiens $\sum _{u=1}^{l}\begin {bmatrix}\frac {un}{m}\end {bmatrix}=2 506 349 662$
on a pas besoin de faire cette sommation pour calculer le résultat
_______________________________
$ \begin {pmatrix} \begin {bmatrix}\frac {n }{m }\end {bmatrix} +\frac {r}{m} \end {pmatrix} \begin {pmatrix}\frac { l^2+l }{ 2 }\end {pmatrix} +(l-t+1)(v-1)-\frac {rl}{2m}(l+1)+\begin {pmatrix}\frac { v^2+v }{2 }-4v+4\end {pmatrix}u_0+...$
suite $...+\frac {3v}{2}-\frac {v^2}{4} +2t-h_2-\frac {9}{4}=2 506 349 662$
avec
$r=74$
$v=185$
$u0=271$
$t=49772$
$h_2=270$
$h_3=271$
Bonne journée.
c'est une façon de voir la chose lol ;-)
bonne journée à toi
Merci.
Bonne journée.
pour voir si tu as compris mes formules
regarde ce que donne la valeur de v et de r et verifie si $2m-r-2r\begin {bmatrix}\frac { m }{ r }\end {bmatrix}=0$
si v=4 cette derniere égalité n'a pas d'importance mais si v est supérieur à 4 là il faudra le vérifier
sinon ces formules ne sont pas les bonnes
je l'ai dit dans la formulation ... mais il y a d'autres formulations pour d'autres cas ...(juste que c'est pas en 16 pages la demo là ... :)o )
Je pense qu'il se fera un devoir de la comprendre, sous-peine, de peut-être manquer, quelques choses d'assez remarquable.
Bonne continuation.
sinon j'ai pris m=20017 pour la nouvelle année 20017 qui viens dans quelques jours (heu non 2017 pardon)
bonne continuation à toi aussi (c'est sympa ce topic)
EDIT pour éviter que l'on passe d'un résultat à l'autre d'un post à l'autre je continue là-bas http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?43,1373738,1373740#msg-1373740
ça raccourci un peu les formules données ici
c'est complètement idiot de ma part d'avoir bêtement recopié ma démo ...
mais comment j'aurai pu construire ces formules sans tout compliquer - ? des fois pour avoir un truc faut être aussi tordu que le truc que l'on cherche
À ce propos je viens de faire une démo stupide (car j'estime que vous trouverez ça trivial -et moi aussi d'ailleurs...) et donc en plus ne servant à pas grand chose
pourtant écrite en 27 lignes (mais franchement pas moyen de faire plus court)
c'est tout bête pourtant j'ai eu besoin de 27 lignes
soit $x\in \mathbb {R}^*_+-\mathbb {N}$
alors en posant $u=\begin {bmatrix} \frac {1}{\begin {Bmatrix} x \end {Bmatrix} { } } \end {bmatrix}$ pour lorsque $1-\begin {Bmatrix} x \end {Bmatrix}\begin {bmatrix} \frac {1}{\begin {Bmatrix} x \end {Bmatrix} { } } \end {bmatrix}=0$
ou en posant $u=1+\begin {bmatrix} \frac {1}{\begin {Bmatrix} x \end {Bmatrix} { } } \end {bmatrix}$ pour lorsque $1-\begin {Bmatrix} x \end {Bmatrix}\begin {bmatrix} \frac {1}{\begin {Bmatrix} x \end {Bmatrix} { } } \end {bmatrix}>0$
on obtient tout simplement
$\sum _{i=0}^{u-1}\begin {bmatrix} i .\begin {Bmatrix} x \end {Bmatrix} \end {bmatrix}=0$
Citation Fluo :
$\sum _{i=0}^{u-1}\begin {bmatrix} i .\begin {Bmatrix} x \end {Bmatrix} \end {bmatrix}=0$
Non, je ne pense pas, prend par exemple $x=0.5$ et $u=3$.
Bonne journée.
tu te trompe
si x=0.5 on obtient u=2
attention à bien lire car on ne peut pas choisir u librement (il dépend de x)
Oui, en effet.
Bon courage.
merci
j'en ai placé un qui signifie la même chose mais sans conditionnelle pour la solution de u
je l'ai placé sur le topic "congrence de noël" en rubrique algèbre, car ça permet de mieux visualiser comment va se résoudre les sommations avec $a_i$
bonne soirée à toi
Bonjour Pour-Exemple
deux autres résultats sur des calculs avec des parties entières
là -> majorant et minorant d'une suite finie de réels http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,1392370,1392370#msg-1392370
et là ->symbole de Levi-Civita d'ordre n http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,1392886
sinon à part ça : où est passé pour-exemple ? pourquoi son bannissement ? mince! il était gentil et intelligent (c'est rare d'avoir ces deux qualités en même temps)
Ce sujet ça l'aurai intéressé en tout cas
@Fluo, merci de te soucier de mon état, et j'ai été débanni... :-D
Pour ce qui est du 114, j'ai donné la solution ici : https://www.ilemaths.net/sujet-calcul-exact-avec-la-partie-entiere-727591.html
Bonne journée.
tu est constant (pas du tout lunatique...des gens pas lunatiques, il en existe pas dans mon milieu, c'est nouveau pour moi ça)
bonne soirée camarade