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Équation x1+x2+...+xp=n

Envoyé par jrbrazza 
Équation x1+x2+...+xp=n
il y a six mois
Bonjour.

On note Sp,n le nombre de solutions de l'équation x1+x2+...+xp=n, où les xi sont des entiers naturels et n un entier naturel.
Je cherche à démontrer que Sp+1,n égale la somme allant de k=0 à k=n des Sp,k.
Je cherche depuis tout à l'heure et je suis bloqué, ne sachant pas quoi faire.
Merci d'avance pour vos réponses.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a six mois et a été effectuée par AD.
Re: Equation x1+x2+...+xp=n
il y a six mois
(p est un entier naturel non nul)
MrJ
Re: Equation x1+x2+...+xp=n
il y a six mois
Il faut que tu regardes quelles sont les valeurs possibles pour $x_{p+1}$. Ensuite, tu peux regrouper les décompositions de $n$ en $p+1$ termes selon la valeur de $x_{p+1}$.
Re: Equation x1+x2+...+xp=n
il y a six mois
Je ne vois pas comment ça pourrait m'aider dans l'exercice, et xp+1 peut prendre ''plein'' de valeurs, non?
Re: Equation x1+x2+...+xp=n
il y a six mois
Bonjour

Tu as une nouvelle variable pour décomposer n. Elle va forcément prendre des unités aux autres variables, si elle en prend. Combien va-t-elle prendre d'unités aux autres ? 0, si elle prend rien et reste à 0. Jusqu'à un maximum de n, si elle dépossède toutes les autres. Dans chacun de ces cas, il s'agirait de savoir comment les p vieilles variables vont contribuer à la dotation de la nouvelle (p+1)ème variable.
Re: Equation x1+x2+...+xp=n
il y a six mois
Mais comment peut-on être sûr du nombre exact de solutions ? Je n'ai pas bien compris.



Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a six mois et a été effectuée par AD.
Re: Équation x1+x2+...+xp=n
il y a six mois
Parce que tu as fait tous les cas possibles.
Re: Équation x1+x2+...+xp=n
il y a six mois
avatar
Salut

@jrbrazza, est-ce que tu es sur que ce que tu veux démontrer est vrai ?
Explique mieux ton problème en donnant un exemple avec de petites valeurs de $n$ et $p$. Tes solutions sont-elles des p-uplets ?
Tu peux aussi regarder du coté de ''partition d'un entier'' dans le net, pour mieux comprendre le problème que tu poses.
Re: Équation x1+x2+...+xp=n
il y a six mois
smiling smiley Ton objection est étrange. Si tu penses que c'est faux, c'est à toi de trouver un contre-exemple. Les exemples qui marchent ne prouvent rien.
Re: Équation x1+x2+...+xp=n
il y a six mois
avatar
Je pense plutôt avoir po une question...euh deux, et don une indication. Si tu peux répondre à la place de @jrbrazza, c'est aussi cool.

Cordialement.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a six mois et a été effectuée par AD.
Re: Équation x1+x2+...+xp=n
il y a six mois
Hum. Sur l'indication, justement, ce n'est ni la partition d'un entier (sans ordre), ni la composition d'un entier (avec ordre), car il faut considérer aussi les zéros (le tout avec ordre).
Re: Équation x1+x2+...+xp=n
il y a six mois
avatar
Ah ok, les solutions sont des p-uplets avec des zéros possibles.

Tu pourrais @jrbrazza essayer de montrer dans un premier temps que tout p-uplet $(x_1, x_2, \cdots, x_{p+1})$ tel que : $x_1 + x_2 + \cdots + x_{p+1} = n$ est de la forme $(x_1, x_2, \cdots, x_p, n - k)\,/\,x_1 + x_2 + \cdots + x_p = k,\,k\,\in\,[\![0; n]\!]$.
Ensuite que la fonction $f : \,\bigcup_{k=0}^{n}\{(x_1, x_2, \cdots, x_p)\,/\,x_1 + x_2 + \cdots + x_p = k\}\,\rightarrow\,\bigcup_{k=0}^{n}\{(x_1, x_2, \cdots, x_p, n - k)\,/\,x_1 + x_2 + \cdots + x_p = k\}$ qui à $(x_1, x_2, \cdots, x_p)\,/\,x_1 + x_2 + \cdots + x_p = k\,\mapsto\,(x_1, x_2, \cdots, x_p, n - k)$ est bijective (injective, surjective).
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