Pensez à lire la Charte avant de poster !

$\newcommand{\K}{\mathbf K}$


Les-Mathematiques.net - Cours de mathématiques supérieures
 Les-Mathematiques.net - Cours de mathématiques universitaires - Forum - Cours à télécharger

A lire
Deug/Prépa
Licence
Agrégation
A télécharger
Télécharger
241 personne(s) sur le site en ce moment
E. Cartan
A lire
Articles
Math/Infos
Récréation
A télécharger
Télécharger
Théorème de Cantor-Bernstein
Théo. Sylow
Théo. Ascoli
Théo. Baire
Loi forte grd nbre
Nains magiques
 
 
 
 
 

Dénombrement appliqué aux jeux de société

Envoyé par Umbre 
Dénombrement appliqué aux jeux de société
il y a cinq mois
Bonjour
Je suis amateur de maths et de jeux de société.

Si je lance 10 fois un dé à 20 faces, quelles sont mes chances de tomber au moins 4 fois sur la même face ?
Existe-t-il une formule pour le cas général ? C'est-à-dire
si je lance n fois un dé à p faces, quelles sont mes chances de tomber au moins k fois sur la même face ?

Je n'arrive pas à trouver sur internet, mais il faut dire aussi que je ne sais pas trop quoi taper dans le moteur de recherche.
Merci de votre aide.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a cinq mois et a été effectuée par AD.
Re: Dénombrement appliqué aux jeux de société
il y a cinq mois
Tu peux regarder schéma de Bernoulli et loi binomiale dans ton moteur de recherche préféré.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a cinq mois et a été effectuée par AD.
Re: Dénombrement appliqué aux jeux de société
il y a cinq mois
Je doute que ça suffise, c'est le maximum de variables qui suivent des lois multinomiales dépendantes.
Re: Dénombrement appliqué aux jeux de société
il y a cinq mois
Bonjour

Bernoulli donne une piste intéressante, si tu cherches une face précise. Mais dans le cas général, tu ne pourras pas faire l'économie d'un recensement des cas. On tire 10 résultats parmi 20 possibles, sans ordre et avec répétition. C'est une combinaison avec répétition. $\Gamma_{20}^{10}=20030010$
Pour les cas favorables, je cherche l'inverse : ne pas tirer 4 ou plus. Je dénombre donc les faces tirées 3 fois, les faces tirées 2 fois et celles 1 fois.

Résultat :
Total = 20030010
q = 16527910 (favorables)
proba(pas plus de 3 fois le même dé) = 0.825157351394
proba(4 fois ou plus le même dé) = 0.174842648606
Environ 17.5 %

Quelqu'un peut-il confirmer ?
Re: Dénombrement appliqué aux jeux de société
il y a cinq mois
avatar
PLM
Fais l'expérience.
Tu vas acheter 10 dés à 20 faces, tu les lances tous les 10 et tu regardes si tu as 4 fois le même nombre (=Succès), ou aucun nombre répété 4 fois (=Echec).
Et tu répètes l'opération une centaine de fois.
Si tu obtiens une quinzaine de succès ou plus, va jouer au loto tout de suite, c'est un jour de chance incroyable !

La probabilité d'avoir 4 fois le même dé est de l'ordre de 2%

Déjà, le calcul de l'univers est faux. On peut le voir de différentes façons, mais la façon la plus logique me paraît de dire que l'univers contient 20^10 possibilités.
Re: Dénombrement appliqué aux jeux de société
il y a cinq mois
C'est bien fait pour toi. En avançant des chiffres sans raisonnement, tu dis des bêtises. Ton 20^10 est un tirage dans l'ordre. Or, tu vois bien que mon calcul exclut l'ordre. Toujours. Pour le dénombrement, c'est important. Mais pour la probabilité, non. C'est la même valeur. $p=\frac C C_t = \frac A A_t$.

"2%" ? C'est au doigt mouillé ? Je préférerais que tu fasses des maths.

J'ai la liste complète des tirages possibles. Je demande confirmation en pure forme. Pour comparer.

PS: si Bernoulli est ce que tu as appliqué, alors que ce n'est pas la question, on obtient 0.1% d'avoir 4 fois ou plus la face 7 (par exemple). D'où vient ce 2 % ?
Re: Dénombrement appliqué aux jeux de société
il y a cinq mois
PetitLutinMalicieux , je crois que tu n'as pas remarqué que $20\times0,\!1\%=2\%$.
Il faut bien sur écarter les cas où on a deux valeurs répétées au moins quatre fois.

Mais, assez intuitivement, ces cas sont rares.
Si on fait le calcul on trouve une probabilité d'environ $3\cdot10^{-17}$ ce que l'on considère en général comme négligeable.
Re: Dénombrement appliqué aux jeux de société
il y a cinq mois
Bonsoir,

Aucune formule simple ne permet d'accéder directement à la probabilité demandée, qui requiert donc un calcul un peu laborieux.

$A$ est l'évènement : $\text{au cours des dix lancers, il est une face qui apparaît quatre fois ou plus.}$
$\forall k \in [\![1;20]\!],\:\: A_k$ désigne l'événement : $\text{la face k apparaît au moins quatre fois au cours des dix lancers.}\qquad$ Alors:
$$ \Pr (A) = \displaystyle \Pr \left( \bigcup_{k=1}^{20}A_k\right) = \sum _{k=1}^{20} \Pr(A_k) - \sum_{1\leqslant i<j\leqslant 20}\Pr (A_i \cap A_j) = 20\Pr(A_1) -\binom { 20}2 \Pr(A_1 \cap A_2).\qquad(1)$$
La probabilité de $A_1$ est donnée par la loi binomiale: avec $p =0.05, \:\: q=1-p=0.95,$
$$ \:\Pr(A_1) =1-q^{10}-10pq^9 -45 p^2q^8 -120 p^3q^7. \qquad(2)$$

Notons: $ \:\: X$ (resp. $Y)\:\:\text{le nombre d'apparitions de la face}\:\: 1\:$ (resp. $2.)$
$\Pr(A_1\cap A_2) = \Pr\Big([X=4]\cap[Y=4]\Big)+2\left(\Pr\Big([X=4]\cap[Y=5]\Big)+\Pr\Big([X=4]\cap[Y=6]\Big)\right) +\Pr\Big([X=5]\cap[Y=5]\Big)$
Avec la loi "multinomiale", et $r= 1-2p=0.9,\:$ il vient:
$$ \Pr(A_1\cap A_2) = 3150 p^8r^2 +2\Big(1260p^9 r +210 p^{10}\Big) +252 p^{10}.\qquad (3)$$
$$ (1), (2),(3) \implies \boxed{\Pr(A) = 0.0205501677344.}$$
(sous réserve d'erreur dans la manipulation de la calculatrice.)



Edité 5 fois. La dernière correction date de il y a cinq mois et a été effectuée par LOU16.
Re: Dénombrement appliqué aux jeux de société
il y a cinq mois
avatar
J'aurais peut-être dû écrire 2.05689% pour montrer que j'avais fait des calculs précis.
D'où vient ce 2.056996%
De Bernoulli, de la loi binomiale , ... tout ces outils classiques de dénombrement.

Probabilité d'avoir 0 fois le nombre 1 : 59.9%
Probabilité d'avoir 1 fois le nombre 1 : 31.5%
Probabilité d'avoir 2 fois le nombre 1 : 7.46%
Probabilité d'avoir 3 fois le nombre 1 : 1.05%
Probabilité complémentaire : avoir au moins 4 fois le nombre 1 : 0.10285%

( On retrouve bien le résultat évident : on a en moyenne 0.5 fois le nombre 1)

Multiplions ce nombre par 20, pour avoir la probabilité totale (avec comme le dit Verdurin une impasse : on compte 2 fois les résultats du type 1.1.1.1.2.2.2.2.3.3) :
Résultat = 2.056996%

Mais comme donner des résultats de ce tye avec plus de 2 chiffres significatifs, c'est totalement ridicule, j'ai écrit 2%.
Re: Dénombrement appliqué aux jeux de société
il y a cinq mois
D'accord. 1000 excuses.

À vouloir faire plus simple, j'ai fait plus faux.

Je disparais dans un trou.
Re: Dénombrement appliqué aux jeux de société
il y a cinq mois
avatar
Bel emploi de la formule du crible.

A demon wind propelled me east of the sun
Re: Dénombrement appliqué aux jeux de société
il y a quatre mois
Bonsoir,

Merci beaucoup pour toutes vos réponses très complètes. Je vois bien que la formule "simple" que je recherche n'existe pas. Merci en particulier à LOU16 pour la réponse détaillée. Je ne comprends pas les outils utilisés, mais je vais faire quelques recherches pour progresser. Pour être franc je n'imaginais pas cette question si complexe (pour mon petit niveau).
Si je comprends bien le raisonnement de lourrran, je peux écrire ceci (en renonçant à compter les cas où il y a plusieurs fois des faces identiques) :

Avec
n, le nombre de lancers
p, le nombre de faces du dé (supposé équilibré)
q, le nombre minimum de faces identiques attendu
\[P=p\left( 1-\sum_{k=0}^{q-1}{\begin{pmatrix}
n\\
k
\end{pmatrix}\left(\frac{1}{p} \right)^{k}\left(\frac{p-1}{p} \right)^{n-k}}\right)\]


Encore merci.

PS: à bien y réfléchir, je me demande si ce calcul ne risque pas de devenir très faux, si le nombre de lancers devient grand et le nombre minimum de faces identiques attendu, petit. Je pense que LOU16 n'a pas ce problème parce qu'il compte bien tous les cas, mais je n'en suis pas sûr... Si quelqu'un peut me confirmer.



Edité 5 fois. La dernière correction date de il y a quatre mois et a été effectuée par Umbre.
Seuls les utilisateurs enregistrés peuvent poster des messages dans ce forum.

Cliquer ici pour vous connecter

Liste des forums - Statistiques du forum

Total
Discussions: 149 362, Messages: 1 509 221, Utilisateurs: 27 703.
Notre dernier utilisateur inscrit tagne123.


Ce forum
Discussions: 890, Messages: 7 550.

 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
Adresse Mail:

Inscription
Désinscription

Actuellement 16057 abonnés
Qu'est-ce que c'est ?
Taper le mot à rechercher

Mode d'emploi
En vrac

Faites connaître Les-Mathematiques.net à un ami
Curiosités
Participer
Latex et autres....
Collaborateurs
Forum

Nous contacter

Le vote Linux

WWW IMS
Cut the knot
Mac Tutor History...
Number, constant,...
Plouffe's inverter
The Prime page