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Nombres de Stirling de première espèce

Envoyé par Gilles 
Nombres de Stirling de première espèce
il y a quatre mois
Bonjour

En travaillant sur les nombres de Stirling de première espèce, je me suis rendu [compte] que l'on a pour $n \geq 2$ et $k \geq 2$,
$$S(n,k) = (n-1)! \sum_{1 \leq i_2<i_3<\dots<i_k \leq n-1} \frac{1}{i_2i_3 \dots i_k}.
$$ La démonstration que j'ai provient du fait qu'il y a autant de permutations ayant $k$ records que de permutations ayant $k$ cycles, le tout arrosé de v.a. dont l'indépendance est compliquée à prouver.

En consultant les documents classiques, je ne trouve pas cette formule pourtant très simple. Est-ce que ça parle à quelqu'un ? Est-ce un corollaire immédiat de formules obtenues par exemple ici : [farhi.bakir.free.fr] et qui m'aurait échappé ?

Merci pour vos idées.

edit : je me suis rendu compte tardivement que j'ai intitulé le message "nombre de Stirling de seconde espèce" alors qu'il s'agissait de ceux de première espèce, d'où le message de noix.de.totos



Edité 3 fois. La dernière correction date de il y a quatre mois et a été effectuée par Gilles.
Re: Nombres de Stirling de seconde espèce
il y a quatre mois
Relations entre racines et coefficients d'un polynôme + définition (ou propriété) $X(X+1)(X+2) \dots (X+n-1) = \sum_{k=1}^n S(n,k) X^k$ + un peu de bricolage et on y arrive, ouf !
Re: Nombres de Stirling de seconde espèce
il y a quatre mois
Il y a deux ans, je suis tombé sur ces nombres, de façon inattendue, alors que je travaillais sur un analogue unitaire de la matrice de Redheffer.

Voici quelques résultats annexes que j'ai pu dégoter, pour lesquels je reprend la notation de Knuth $\left\{ \begin{array}{c} n \\ k \end{array} \right\}$ avec $k \leqslant n$.

(i) Quelques valeurs.
$$\left\{ \begin{array}{c} n \\ 0 \end{array} \right\} = \begin{cases} 1, & \textrm{si} \ n=0 \\ 0, & \textrm{sinon} \end{cases}, \quad \left\{ \begin{array}{c} n \\ 1 \end{array} \right\} = \left\{ \begin{array}{c} n \\ n \end{array} \right\} = 1, \quad \left\{ \begin{array}{c} n \\ 2 \end{array} \right\} = 2^{n-1}-1$$
$$\left\{ \begin{array}{c} n \\ 3 \end{array} \right\} = \tfrac{1}{6} \left( 3^n - 3 \times 2^n + 3 \right), \quad \left\{ \begin{array}{c} n \\ 4 \end{array} \right\} = \tfrac{1}{6} \left( 4^{n-1} - 3^n + 3 \times 2^{n-1} - 1 \right), \quad \left\{ \begin{array}{c} n \\ n-1 \end{array} \right\} = {n \choose 2}.$$

(ii) Formules de récurrence.
$$\left\{ \begin{array}{c} n+1 \\ k \end{array} \right\} = \left\{ \begin{array}{c} n \\ k-1 \end{array} \right\} + k \left\{ \begin{array}{c} n \\ k \end{array} \right\}.$$
$$\left\{ \begin{array}{c} n \\ k \end{array} \right\} = \sum_{j=k-1}^{n-1} {n \choose j} \left\{ \begin{array}{c} j \\ k - 1 \end{array} \right\}.$$
$$\left\{ \begin{array}{c} n \\ k \end{array} \right\} =\sum_{j=1}^k j \left\{ \begin{array}{c} n+j-k \\ j \end{array} \right\} \quad \left( k+1 \leqslant n \right).$$

(iii) Expression explicite directe.
$$k! \left\{ \begin{array}{c} n \\ k \end{array} \right\} = \sum_{n_1 + \dotsb + n_k = n} {n \choose n_1, \dotsc,n_k}.$$

(iv) Inégalités.
$$\left\{ \begin{array}{c} n \\ k \end{array} \right\} \leqslant \frac{k^{n-1}}{(k-1)!}.$$
$$\tfrac{1}{2} (k^2+k+2)k^{n-k-1} - 1 \leqslant \left\{ \begin{array}{c} n \\ k \end{array} \right\} \leqslant \frac{1}{2} {n \choose k} k^{n-k} \quad \left( n \geqslant 2, \ 1 \leqslant k \leqslant n-1 \right).$$
$$\left\{ \begin{array}{c} n \\ k \end{array} \right\}^2 \geqslant \left\{ \begin{array}{c} n \\ k-1 \end{array} \right\} \times \left\{ \begin{array}{c} n \\ k +1\end{array} \right\}.$$

(v) Propriétés arithmétiques. On considère un nombre premier $p$.

$\triangleright$ Pour tout $k \in \{2,\dotsc,p-1\}$, $p$ divise $\left\{ \begin{array}{c} p \\ k \end{array} \right\}$ et $p$ ne divise ni $\left\{ \begin{array}{c} p \\ 1 \end{array} \right\}$, ni $\left\{ \begin{array}{c} p \\ p \end{array} \right\}$.

$\triangleright$ $\left\{ \begin{array}{c} p+1 \\ 2 \end{array} \right\} \equiv 1 \; \left(\textrm{mod} \; p \right)$.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a quatre mois et a été effectuée par noix de totos.
Re: Nombres de Stirling de première espèce
il y a quatre mois
Merci pour ta contribution. J'avais commis une boulette, ce sont les nombres de Stirling de première espèce ici dont je parlais et non de seconde espèce, mais peu importe, ton message m'apporte quelques relations supplémentaires sur les nombres de Stirling de seconde espèce qui m'intéressent aussi.
Re: Nombres de Stirling de première espèce
il y a quatre mois
Oui, tu as raison, il vaut mieux insister pour ceux qui liront ce sujet : mon message porte sur les nombres de Stirling de seconde espèce (tel qu'indiqué dans une première version du titre de ce fil).

Comme je l'ai dit plus haut, ça a été une vraie surprise pour moi de les trouver là où je ne les attendais pas du tout (mais alors, pas du tout !)...



Edité 3 fois. La dernière correction date de il y a quatre mois et a été effectuée par noix de totos.
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