Pensez à lire la Charte avant de poster !

$\newcommand{\K}{\mathbf K}$


Les-Mathematiques.net - Cours de mathématiques supérieures
 Les-Mathematiques.net - Cours de mathématiques universitaires - Forum - Cours à télécharger

A lire
Deug/Prépa
Licence
Agrégation
A télécharger
Télécharger
247 personne(s) sur le site en ce moment
E. Cartan
A lire
Articles
Math/Infos
Récréation
A télécharger
Télécharger
Théorème de Cantor-Bernstein
Théo. Sylow
Théo. Ascoli
Théo. Baire
Loi forte grd nbre
Nains magiques
 
 
 
 
 

Démonstration théorème

Envoyé par math981 
Démonstration théorème
il y a cinq années
Bonsoir, quelqu'un pourrait t il m'aider à démontrer que si :


$\forall t\in]a;b[, |f'(t)|\le \ {g'(t)} $ , alors $|f(b)-f(a)|\le g(b)-g(a) $
Re: Démonstration théorème
il y a cinq années
On peut le faire comme ça : $$\forall t \in ]a,b[, |f'(t)| \leq g'(t) $$ Implique que $$\forall t \in ]a,b[, -g'(t) \leq f'(t) \leq g'(t)$$ Donc $$ \int_a^b -g'(t) dt \leq \int_a^b f'(t) dt \leq \int_a^b g'(t) dt$$ Ainsi, $$ -(g(b)-g(a)) \leq f(b)-f(a) \leq g(b)-g(a)$$ Ce qui entraine finalement que $$ | f(b)-f(a) | \leq g(b)-g(a).$$



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a cinq années et a été effectuée par AD.
P.
Re: Démonstration théorème
il y a cinq années
Si $f'=g's$ avec $|s|\leq 1$ alors $|f(b)-f(a)|=\left|\int_a^bg'(t)s(t)dt\right|\leq \int_a^bg'(t)|s(t)|dt\leq \int_a^bg'(t)dt=g(b)-g(a).$
Re: Démonstration théorème
il y a cinq années
avatar
Sans connaître les hypothèses sur $f$ et $g$, le retour de l'intégrale de KH ? winking smiley
Re: Démonstration théorème
il y a cinq années
N'est il pas possible de le démontrer sans avoir recours aux intégrales ?
Re: Démonstration théorème
il y a cinq années
avatar
@remarque,

Peut-on construire une bonne théorie de l'intégration à partir de :

$\int_a^b f(t)dt= F(b)-F(a)$? où $F$ est une primitive de $f$ sur $[a,b]$?
Dom
Re: Démonstration théorème
il y a cinq années
J'allais intervenir de manière moins "savante" que @remarque (ce n'est pas péjoratif).

Faut-il encore que $f'$ et $g'$ soient intégrables pour valider la preuve de @Tryss.
Je m'attendais plutôt au TAF...

Donnons un énoncé clair pour l'exercice en définissant $f$ et $g$ correctement (espace de départ, d'arrivée, continuité, dérivabilité etc.).



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a cinq années et a été effectuée par Dom.
Re: Démonstration théorème
il y a cinq années
avatar
@Dom,

Comment démontres-tu le TAF?
Re: Démonstration théorème
il y a cinq années
@Remarque: Toutes les fonctions dérivables sont absolument continues non? smoking smiley

Bon, ok, j'ai considéré qu'elles étaient C^1

@Maths981 : je ne sais pas, mais passer par les intégrales me semble le plus naturel. Une chose est sur, le théorème des accroissements finis ne marchera pas ici
Dom
Re: Démonstration théorème
il y a cinq années
Heu...? Pourquoi cette question.

Je réponds tout de même avec le mot clé : Rolle.
Re: Démonstration théorème
il y a cinq années
@Dom : tu dis que tu t'attendais plutôt au TAF, mais si tu appliques le TAF à $|f(b)-f(a)|$, tu obtiens qu'il existe un $c$ tel que $|f(b)-f(a)| = |f'(c)| \leq g'(c)$. Maintenant, comment tu relies ce $c$ au $c'$ qui vérifie $g'(c') = g(b)-g(a)$?



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a cinq années et a été effectuée par Tryss.
Dom
Re: Démonstration théorème
il y a cinq années
Pardon : Je n'ai pas la preuve.

J'ai voulu dire que ne pouvant pas utiliser l'intégration directement* (car injustifiable sans hypothèse supplémentaire), en général le TAF permet des choses efficaces.
En effet, ici, ça coince sur mon brouillon, à première vue.

*peut-être a-t-on un résultat sur les fonctions dérivées qui seraient limite (uniforme ?) de fonctions "agréables" ?
Edit : non, pas besoin.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a cinq années et a été effectuée par Dom.
Dom
Re: Démonstration théorème
il y a cinq années
Ici, une preuve pas si simple, avec des corollaires de corollaires...

[math.univ-lyon1.fr]



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a cinq années et a été effectuée par Dom.
Re: Démonstration théorème
il y a cinq années
avatar
@Dom,

et dans le document 37 de ce même cours , l'intégrale sur un segment est définie par les primitives(et "tout" fonctionne).
En particulier $f'$ est intégrable sur un segment. La remarque qu'il fait sur la démonstration du TAF dans ce cadre (doc 31, ton lien)s'applique donc bien.
Donc sans recours à une théorie puissante , on peut démontrer l'inégalité précédente sans hypothèses supplémentaires sur $f'$ et $g'$.
Re: Démonstration théorème
il y a cinq années
Sans aller jusqu'à redéfinir l'intégrale, ce résultat dit moralement que si f croît moins vite que g, les variations sur $ [a ; b] $ de f seront moins grandes que celles de g. Cest vrai localement autour de $ a$ en utilisant la définition de la dérivée, et "de proche en proche" ca doit être vrai sur le segment entier... C'est un pur argument de connexité assez classique, et il suffit d'adapter la démo du TAF. Le truc dans le TAF Cest qu'on se donne un peu de marge, et qu'on montre le résultat à epsilon près. Typiquement ici on montre que
$ \lbrace x,\forall t\in [a ;x], \vert f(t)-f(a)\vert \leq g(t)-g(a) + \epsilon\rbrace $
est fermé et ouvert dans $ [a ; b] $ , et on conclut par connexité

A noter que ça reste vrai pour f à valeurs dans n'importe quel evn.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a cinq années et a été effectuée par Welfar.
Dom
Re: Démonstration théorème
il y a cinq années
Entendons-nous bien :
La source que je cite donne la preuve sans le recours à l'intégration.
Elle utilise le TAF et les définitions communes pour tous les cours raisonnables.
Et dans le document on donne même un exemple de fonction dont la dérivée n'est pas intégrable (au sens de Riemann pour être précis).

Le document 37 me fait peur en effet : définir l'intégrale par des primitives risque de poser des problèmes de conflit de définition de l'intégrale elle-même.
Cette définition n'est pas commune à tous les cours...
Re: Démonstration théorème
il y a cinq années
avatar
Euh, c'est tout-à-fait faisable avec le théorème de Rolle (ou sa conséquence sur l'étude des variations d'une fonction) en considérant les fonctions $p=f-g$ d'une part et $q=f+g$ d'autre part.
En effet, $p'$ est négative sur $\left]a,b\right[$ et il existe $c\in\left]a,b\right[$ tel que $p(b)-p(a)=p'(c)$ donc $p(b)-p(a)=f(b)-f(a)-(g(b)-g(a))\leq 0$.
De même, $q'$ est positive donc $q(b)-q(a)=f(b)-f(a)+(g(b)-g(a))\geq 0$.
Ainsi, $-(g(b)-g(a))\leq f(b)-f(a) \leq g(b)-g(a)$, autrement dit $|f(b)-f(a)|\leq g(b)-g(a)$.

L'avantage de la méthode avec l'intégrale c'est qu'elle fonctionne aussi lorsque $f$ est à valeurs complexes.
Re: Démonstration théorème
il y a cinq années
Oui, ou on peut le faire avec le TAF qui suppose juste la fonction dérivable et à valeur dans n'importe quel evn.
Re: Démonstration théorème
il y a cinq années
avatar
Il me semble que Cartan procède comme l'indique Welfar plus haut (sans garantie).
Re: Démonstration théorème
il y a cinq années
avatar
Rien de plus agaçant que ces questions sans préciser les hypothèses.
Ayant pris le train en marche j'avais dans l'idée une réponse mais j'ai vu que c'est celle de bisam, c'est la plus simple, niveau math. sup., sans partir sur des considérations d'intégrabilité au sens de çui-ci ou çui-là, superflues ici.

Un énoncé correct serait :
......................................................................................................................................................................
Soient deux fonctions $f$ et $g$ continues sur $[a,b]$, à valeurs réelles, dérivables sur $]a,b[$, avec $a<b$, et telles que : $\forall t\in]a,b[, |f'(t)|\le \ {g'(t)}$. Alors : $|f(b)-f(a)|\leq g(b)-g(a)$.
......................................................................................................................................................................
La question de l'extension à une fonction $f$ à valeurs complexes ou vectorielles est très intéressante. Mais on ne peut utiliser les intégrales qu'avec une hypothèse complémentaire sur les fonctions, par exemple de classe $C^1$, pour rester math. sup.

Bonne journée.
F. Ch.



Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a cinq années et a été effectuée par Chaurien.
Re: Démonstration théorème
il y a cinq années
avatar
Une idée marrante pour le cas complexe.
.............................................................................................................................................................
Soient deux fonctions $f$ et $g$ continues sur $[a,b]$, dérivables sur $]a,b[$, avec $a<b$, avec $f$ à valeurs complexes et $g$ à valeurs réelles, et telles que : $\forall t\in]a,b[, |f'(t)|\le \ {g'(t)}$. Alors : $|f(b)-f(a)|\leq g(b)-g(a)$.
.............................................................................................................................................................

Soit $r=|f(b)-f(a)|$, et $f(b)-f(a)=re^{i\theta }$, $\theta \in \R$.
Soit $h(t)=e^{-i\theta }f(t)=u(t)+iv(t)$, $u(t)\in \R$, $v(t)\in \R$.
Alors : $|u^{\prime }(t)|\leq |h^{\prime }(t)|=|f^{\prime }(t)|\leq g(t)$.
D'où en application du résultat dans le cas réel : $|u(b)-u(a)|\leq g(b)-g(a)$.
Par ailleurs, $h(b)-h(a)$ est réel, d'où : $v(b)-v(a)=0$, et $|u(b)-u(a)|=|h(b)-h(a)|=|f(b)-f(a)|$.. ..

Reste le cas vectoriel, il me semble avoir vu traiter cette question dans des livres.

Bonne journée.
F. Ch.
Re: Démonstration théorème
il y a cinq années
avatar
Encore une fois, c'est presque sûrement fait dans Cartan, Calcul différentiel, avec des fonctions seulement dérivables à droite, ou à gauche, enfin peu importe.
Re: Démonstration théorème
il y a cinq années
Oui, mais tu sais remarque, je crois que les gens ne lisent qu'un message sur deux ces derniers temps.

Ok, admettons qu'en sup la technique de Rolle soit la meilleure. Mais clairement, en sup, on ne fait pas d'applications à valeurs vectorielles, et alors un argument de connexité bien classique me semble mille fois plus instructif qu'un bidouillage à partir de Rolle et du cas réel, qui tombe complètement en défaut dès qu'on est plus dans $\mathbb{R}$. D'ailleurs la technique de Cartan est beaucoup plus robuste, c'est une méthode assez importante en analyse, par exemple pour démontrer le Lemme de Gronwall qui est juste la base fondamentale des EDO.
Seuls les utilisateurs enregistrés peuvent poster des messages dans ce forum.

Cliquer ici pour vous connecter

Liste des forums - Statistiques du forum

Total
Discussions: 149 244, Messages: 1 507 378, Utilisateurs: 27 667.
Notre dernier utilisateur inscrit Setif.


Ce forum
Discussions: 33 667, Messages: 315 859.

 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
Adresse Mail:

Inscription
Désinscription

Actuellement 16057 abonnés
Qu'est-ce que c'est ?
Taper le mot à rechercher

Mode d'emploi
En vrac

Faites connaître Les-Mathematiques.net à un ami
Curiosités
Participer
Latex et autres....
Collaborateurs
Forum

Nous contacter

Le vote Linux

WWW IMS
Cut the knot
Mac Tutor History...
Number, constant,...
Plouffe's inverter
The Prime page