On peut le faire comme ça : $$\forall t \in ]a,b[, |f'(t)| \leq g'(t) $$ Implique que $$\forall t \in ]a,b[, -g'(t) \leq f'(t) \leq g'(t)$$ Donc $$ \int_a^b -g'(t) dt \leq \int_a^b f'(t) dt \leq \int_a^b g'(t) dt$$ Ainsi, $$ -(g(b)-g(a)) \leq f(b)-f(a) \leq g(b)-g(a)$$ Ce qui entraine finalement que $$ | f(b)-f(a) | \leq g(b)-g(a).$$
@Remarque: Toutes les fonctions dérivables sont absolument continues non? B-)-
Bon, ok, j'ai considéré qu'elles étaient C^1
@Maths981 : je ne sais pas, mais passer par les intégrales me semble le plus naturel. Une chose est sur, le théorème des accroissements finis ne marchera pas ici
@Dom : tu dis que tu t'attendais plutôt au TAF, mais si tu appliques le TAF à $|f(b)-f(a)|$, tu obtiens qu'il existe un $c$ tel que $|f(b)-f(a)| = |f'(c)| \leq g'(c)$. Maintenant, comment tu relies ce $c$ au $c'$ qui vérifie $g'(c') = g(b)-g(a)$?
J'ai voulu dire que ne pouvant pas utiliser l'intégration directement* (car injustifiable sans hypothèse supplémentaire), en général le TAF permet des choses efficaces.
En effet, ici, ça coince sur mon brouillon, à première vue.
*peut-être a-t-on un résultat sur les fonctions dérivées qui seraient limite (uniforme ?) de fonctions "agréables" ? Edit : non, pas besoin.
et dans le document 37 de ce même cours , l'intégrale sur un segment est définie par les primitives(et "tout" fonctionne).
En particulier $f'$ est intégrable sur un segment. La remarque qu'il fait sur la démonstration du TAF dans ce cadre (doc 31, ton lien)s'applique donc bien.
Donc sans recours à une théorie puissante , on peut démontrer l'inégalité précédente sans hypothèses supplémentaires sur $f'$ et $g'$.
Sans aller jusqu'à redéfinir l'intégrale, ce résultat dit moralement que si f croît moins vite que g, les variations sur $ [a ; b] $ de f seront moins grandes que celles de g. Cest vrai localement autour de $ a$ en utilisant la définition de la dérivée, et "de proche en proche" ca doit être vrai sur le segment entier... C'est un pur argument de connexité assez classique, et il suffit d'adapter la démo du TAF. Le truc dans le TAF Cest qu'on se donne un peu de marge, et qu'on montre le résultat à epsilon près. Typiquement ici on montre que
$ \lbrace x,\forall t\in [a ;x], \vert f(t)-f(a)\vert \leq g(t)-g(a) + \epsilon\rbrace $
est fermé et ouvert dans $ [a ; b] $ , et on conclut par connexité
A noter que ça reste vrai pour f à valeurs dans n'importe quel evn.
Entendons-nous bien :
La source que je cite donne la preuve sans le recours à l'intégration.
Elle utilise le TAF et les définitions communes pour tous les cours raisonnables.
Et dans le document on donne même un exemple de fonction dont la dérivée n'est pas intégrable (au sens de Riemann pour être précis).
Le document 37 me fait peur en effet : définir l'intégrale par des primitives risque de poser des problèmes de conflit de définition de l'intégrale elle-même.
Cette définition n'est pas commune à tous les cours...
Euh, c'est tout-à-fait faisable avec le théorème de Rolle (ou sa conséquence sur l'étude des variations d'une fonction) en considérant les fonctions $p=f-g$ d'une part et $q=f+g$ d'autre part.
En effet, $p'$ est négative sur $\left]a,b\right[$ et il existe $c\in\left]a,b\right[$ tel que $p(b)-p(a)=p'(c)$ donc $p(b)-p(a)=f(b)-f(a)-(g(b)-g(a))\leq 0$.
De même, $q'$ est positive donc $q(b)-q(a)=f(b)-f(a)+(g(b)-g(a))\geq 0$.
Ainsi, $-(g(b)-g(a))\leq f(b)-f(a) \leq g(b)-g(a)$, autrement dit $|f(b)-f(a)|\leq g(b)-g(a)$.
L'avantage de la méthode avec l'intégrale c'est qu'elle fonctionne aussi lorsque $f$ est à valeurs complexes.
Rien de plus agaçant que ces questions sans préciser les hypothèses.
Ayant pris le train en marche j'avais dans l'idée une réponse mais j'ai vu que c'est celle de bisam, c'est la plus simple, niveau math. sup., sans partir sur des considérations d'intégrabilité au sens de çui-ci ou çui-là, superflues ici.
Un énoncé correct serait :
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Soient deux fonctions $f$ et $g$ continues sur $[a,b]$, à valeurs réelles, dérivables sur $]a,b[$, avec $a<b$, et telles que : $\forall t\in]a,b[, |f'(t)|\le \ {g'(t)}$. Alors : $|f(b)-f(a)|\leq g(b)-g(a)$.
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La question de l'extension à une fonction $f$ à valeurs complexes ou vectorielles est très intéressante. Mais on ne peut utiliser les intégrales qu'avec une hypothèse complémentaire sur les fonctions, par exemple de classe $C^1$, pour rester math. sup.
Une idée marrante pour le cas complexe.
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Soient deux fonctions $f$ et $g$ continues sur $[a,b]$, dérivables sur $]a,b[$, avec $a<b$, avec $f$ à valeurs complexes et $g$ à valeurs réelles, et telles que : $\forall t\in]a,b[, |f'(t)|\le \ {g'(t)}$. Alors : $|f(b)-f(a)|\leq g(b)-g(a)$.
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Soit $r=|f(b)-f(a)|$, et $f(b)-f(a)=re^{i\theta }$, $\theta \in \R$.
Soit $h(t)=e^{-i\theta }f(t)=u(t)+iv(t)$, $u(t)\in \R$, $v(t)\in \R$.
Alors : $|u^{\prime }(t)|\leq |h^{\prime }(t)|=|f^{\prime }(t)|\leq g(t)$.
D'où en application du résultat dans le cas réel : $|u(b)-u(a)|\leq g(b)-g(a)$.
Par ailleurs, $h(b)-h(a)$ est réel, d'où : $v(b)-v(a)=0$, et $|u(b)-u(a)|=|h(b)-h(a)|=|f(b)-f(a)|$.. ..
Reste le cas vectoriel, il me semble avoir vu traiter cette question dans des livres.
Encore une fois, c'est presque sûrement fait dans Cartan, Calcul différentiel, avec des fonctions seulement dérivables à droite, ou à gauche, enfin peu importe.
Oui, mais tu sais remarque, je crois que les gens ne lisent qu'un message sur deux ces derniers temps.
Ok, admettons qu'en sup la technique de Rolle soit la meilleure. Mais clairement, en sup, on ne fait pas d'applications à valeurs vectorielles, et alors un argument de connexité bien classique me semble mille fois plus instructif qu'un bidouillage à partir de Rolle et du cas réel, qui tombe complètement en défaut dès qu'on est plus dans $\mathbb{R}$. D'ailleurs la technique de Cartan est beaucoup plus robuste, c'est une méthode assez importante en analyse, par exemple pour démontrer le Lemme de Gronwall qui est juste la base fondamentale des EDO.
Réponses
Peut-on construire une bonne théorie de l'intégration à partir de :
$\int_a^b f(t)dt= F(b)-F(a)$? où $F$ est une primitive de $f$ sur $[a,b]$?
Faut-il encore que $f'$ et $g'$ soient intégrables pour valider la preuve de @Tryss.
Je m'attendais plutôt au TAF...
Donnons un énoncé clair pour l'exercice en définissant $f$ et $g$ correctement (espace de départ, d'arrivée, continuité, dérivabilité etc.).
Comment démontres-tu le TAF?
Bon, ok, j'ai considéré qu'elles étaient C^1
@Maths981 : je ne sais pas, mais passer par les intégrales me semble le plus naturel. Une chose est sur, le théorème des accroissements finis ne marchera pas ici
Je réponds tout de même avec le mot clé : Rolle.
J'ai voulu dire que ne pouvant pas utiliser l'intégration directement* (car injustifiable sans hypothèse supplémentaire), en général le TAF permet des choses efficaces.
En effet, ici, ça coince sur mon brouillon, à première vue.
*peut-être a-t-on un résultat sur les fonctions dérivées qui seraient limite (uniforme ?) de fonctions "agréables" ?
Edit : non, pas besoin.
http://math.univ-lyon1.fr/capes/IMG/pdf/new.IAF.pdf
et dans le document 37 de ce même cours , l'intégrale sur un segment est définie par les primitives(et "tout" fonctionne).
En particulier $f'$ est intégrable sur un segment. La remarque qu'il fait sur la démonstration du TAF dans ce cadre (doc 31, ton lien)s'applique donc bien.
Donc sans recours à une théorie puissante , on peut démontrer l'inégalité précédente sans hypothèses supplémentaires sur $f'$ et $g'$.
$ \lbrace x,\forall t\in [a ;x], \vert f(t)-f(a)\vert \leq g(t)-g(a) + \epsilon\rbrace $
est fermé et ouvert dans $ [a ; b] $ , et on conclut par connexité
A noter que ça reste vrai pour f à valeurs dans n'importe quel evn.
La source que je cite donne la preuve sans le recours à l'intégration.
Elle utilise le TAF et les définitions communes pour tous les cours raisonnables.
Et dans le document on donne même un exemple de fonction dont la dérivée n'est pas intégrable (au sens de Riemann pour être précis).
Le document 37 me fait peur en effet : définir l'intégrale par des primitives risque de poser des problèmes de conflit de définition de l'intégrale elle-même.
Cette définition n'est pas commune à tous les cours...
En effet, $p'$ est négative sur $\left]a,b\right[$ et il existe $c\in\left]a,b\right[$ tel que $p(b)-p(a)=p'(c)$ donc $p(b)-p(a)=f(b)-f(a)-(g(b)-g(a))\leq 0$.
De même, $q'$ est positive donc $q(b)-q(a)=f(b)-f(a)+(g(b)-g(a))\geq 0$.
Ainsi, $-(g(b)-g(a))\leq f(b)-f(a) \leq g(b)-g(a)$, autrement dit $|f(b)-f(a)|\leq g(b)-g(a)$.
L'avantage de la méthode avec l'intégrale c'est qu'elle fonctionne aussi lorsque $f$ est à valeurs complexes.
Ayant pris le train en marche j'avais dans l'idée une réponse mais j'ai vu que c'est celle de bisam, c'est la plus simple, niveau math. sup., sans partir sur des considérations d'intégrabilité au sens de çui-ci ou çui-là, superflues ici.
Un énoncé correct serait :
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Soient deux fonctions $f$ et $g$ continues sur $[a,b]$, à valeurs réelles, dérivables sur $]a,b[$, avec $a<b$, et telles que : $\forall t\in]a,b[, |f'(t)|\le \ {g'(t)}$. Alors : $|f(b)-f(a)|\leq g(b)-g(a)$.
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La question de l'extension à une fonction $f$ à valeurs complexes ou vectorielles est très intéressante. Mais on ne peut utiliser les intégrales qu'avec une hypothèse complémentaire sur les fonctions, par exemple de classe $C^1$, pour rester math. sup.
Bonne journée.
F. Ch.
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Soient deux fonctions $f$ et $g$ continues sur $[a,b]$, dérivables sur $]a,b[$, avec $a<b$, avec $f$ à valeurs complexes et $g$ à valeurs réelles, et telles que : $\forall t\in]a,b[, |f'(t)|\le \ {g'(t)}$. Alors : $|f(b)-f(a)|\leq g(b)-g(a)$.
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Soit $r=|f(b)-f(a)|$, et $f(b)-f(a)=re^{i\theta }$, $\theta \in \R$.
Soit $h(t)=e^{-i\theta }f(t)=u(t)+iv(t)$, $u(t)\in \R$, $v(t)\in \R$.
Alors : $|u^{\prime }(t)|\leq |h^{\prime }(t)|=|f^{\prime }(t)|\leq g(t)$.
D'où en application du résultat dans le cas réel : $|u(b)-u(a)|\leq g(b)-g(a)$.
Par ailleurs, $h(b)-h(a)$ est réel, d'où : $v(b)-v(a)=0$, et $|u(b)-u(a)|=|h(b)-h(a)|=|f(b)-f(a)|$.. ..
Reste le cas vectoriel, il me semble avoir vu traiter cette question dans des livres.
Bonne journée.
F. Ch.
Ok, admettons qu'en sup la technique de Rolle soit la meilleure. Mais clairement, en sup, on ne fait pas d'applications à valeurs vectorielles, et alors un argument de connexité bien classique me semble mille fois plus instructif qu'un bidouillage à partir de Rolle et du cas réel, qui tombe complètement en défaut dès qu'on est plus dans $\mathbb{R}$. D'ailleurs la technique de Cartan est beaucoup plus robuste, c'est une méthode assez importante en analyse, par exemple pour démontrer le Lemme de Gronwall qui est juste la base fondamentale des EDO.