Valeur propre.

pourexemple
pourexemple
dans Analyse
Bonjour,

Soit $f$ une fonction $C^\infty$ de $\R^n$ dans lui même tel que $f(0)\neq 0$, montrer qu'alors $f$ admet une valeur propre entière (càd il existe $k$ entier et $x\in \R^n$, $x\neq 0$ tel que $f(x)=k.x$).

Cela marche aussi avec $f$ continue mais alors ce n'est pas la même démonstration.

Bonne journée.

Réponses

  • MrJ
    MrJ
    Une application linéaire peut n'avoir aucune valeur propre entière...

    Edit : Désolé, j'ai oublié une hypothèse.
  • Pea
    Pea
    Dans ce qui suit, $\lVert.\rVert$ désigne la norme euclidienne standard sur $\mathbb{R}^n$ et $(.,.)$ le produit scalaire associé. Si $f$ est $C^1$: pour $k$ assez grand on a $\inf_{\lVert x\Vert=1}\lVert f(x)-kx\rVert>\lVert f(0)\rVert$ donc la fonction $x\mapsto \lVert f(x)-kx\rVert^2$ atteint un minimum local dans la boule unité ouverte $B(0,1)$. La différentielle de cette application en $x_0$ est donnée par $v\mapsto 2(df_{x_0}(v)-kv,f(x_0)-kx_0)$. De plus, pour $k$ assez grand on a $df_{x_0}-kId$ inversible pour tout $x_0\in B(0,1)$ donc si $x\mapsto \lVert f(x)-kx\rVert^2$ atteint un minimum local en $x_0\in B(0,1)$ on a $f(x_0)=kx_0$. Finalement le cas continue se fait tout seul en approximant $f$ par des fonctions $C^1$.
  • pourexemple
    pourexemple
    Bravo, je suis d'accord avec le cas $C^1$.

    Mais comment procèdes tu pour le cas continue, quelle approximation utilises tu ?

    En effet il y a au mieux une approximation pour la norme sup sur tout compact, mais là on est sur $\R^n$..

    Pourrais-tu détailler un peu ?

    Merci.
  • seb78
    seb78
    Où intervient le fait que $k $ est entier?
  • pourexemple
    pourexemple
    Pour tout M>0, il existe un entier n>M.

    Je n'ai pas mis l'énoncé "optimal".
  • Neptune
    Neptune
    @ contrexemple, ta démonstration pour le cas continu n'utiliserait pas par hasard le point fixe de Brouwer ?
  • pourexemple
    pourexemple
    oui.
  • Neptune
    Neptune
    Ok merci, je me disais bien.
  • P.
    P.
    Très chouette. Question générale, a-t-on fait des recoupements pour voir si les examinateurs des concours des grandes écoles viennent faire leur marché sur le forum ?
  • seb78
    seb78
    J'ai peut être raté quelque chose mais pour moi la preuve de Pea, signifie qu'il existe un $M>0$ tel que pour tout $k\geq M$ (entier ou non entier), $f$ admet $k$ pour "valeur propre".
  • MrJ
    MrJ
    En effet, le fait que $k$ soit entier ne semble pas utile. De même dans le cas continu.
  • pourexemple
    pourexemple
    Bonjour,

    Encore, une fois je n'ai pas mis l'énoncé "optimal", mais une forme faible comparer à la preuve que je crois avoir.

    Bonne journée.
  • Dom
    Dom
    [small]Petite question de vocabulaire : le terme "valeur propre" n'est-il pas réservé aux applications/opérateurs linéaires ?
    Ce qui n'enlève rien à l'exercice. [/small]
  • pourexemple
    pourexemple
    Oui, je pense aussi, mais le terme en lui même est, me semble-t-il, suffisamment parlant sur ce qu'il désigne ici.
  • pourexemple
    pourexemple
    Alors, personne n' a d'idée ?
  • Neptune
    Neptune
    Bah je pense que ça se fait vite fait avec le point fixe de Bouwer :

    Pour le cas continu, $f\Big(B(0,1)\Big)$ est un compact (j'utilise des boules fermées), donc borné, donc peut être inclus dans une boule fermée de type $B(0,N)$ pour un entier $N$ assez grand.

    Je considère alors la fonction $g : B(0,1) \to B(0,1)$ définie par $g(x) = \frac{1}{N}fx)$. C'est une fonction bien définie et continue de la boule unité dans elle-même. Par le théorème du point fixe de Brouwer, $g(x)$ admet un point fixe noté $y$. Donc $y$ vérifie $f(y) = N y$ avec $N$ entier.
    De plus $y$ est non nul car dans ce cas on aurait $f(0) = 0$. Donc $y$ est bien un "vecteur propre" associé à l'entier $N$.

    On peut bien sûr remplacer $N$ par n'importe quel réel $M > 0$ tel que $f\Big(B(0,1)\Big)$ soit inclus dans $B(0,M)$.
  • pourexemple
    pourexemple
    Bravo.
  • pourexemple
    pourexemple
    C'est simple et pourtant on a du mal à y penser... comme quoi ce n'est pas parce que c'est simple que c'est facile à trouver.
  • Neptune
    Neptune
    Merci.
    Oui c'est simple en connaissant (et en admettant) le point fixe de Brouwer, ce qui n'est pas évident ! ça rend le résultat très puissant dans l'absolu.
  • christophe c
    christophe c
    CE a écrit:
    C'est simple et pourtant on a du mal à y penser...

    Très subjectif de ta part cette remarque: tu maquilles un peu Brouwer, puis tu dis "on a du mal à y penser". Je parie que les habitués à Brouwer y pensent en moins de une seule seconde.
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • pourexemple
    pourexemple
    Bonjour,

    Encore faut-il penser au fait que c'est le théorème de Brouwer qu'il faut utiliser, ce qui selon moi ne va pas de soi ?

    Sinon pour le côté : "C'est simple et pourtant on a du mal à y penser", je te renvoie à la factorielle allégée, ou même au problème de géolyse, ou encore au problème indécidable, et en fait à pratiquement tous les énoncés que je poste ici.

    Bonne journée.
  • christophe c
    christophe c
    De mon téléphone je pensais que tu n'evoquais que l'énoncé de ce fil pour la citation. "Penser à évoquer Brouwer" ne vient ici que de "connaitre Brouwer" ton énoncé en étant un cas particulier. Comme je te dis il ne me parait pas possible que quelqu'un qui cherche connaisse B ou alors c'est parce qu'il considère que la règle du jeu est de se forcer à ne pas utiliser B. Je me demande (de mon téléphone ) à quel point ton énoncé est plus faible que B d'ailleurs... (Quand on l'entend sous la forme "pour tout n blabla R^n")
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • pourexemple
    pourexemple
    Je suppose que la plus part des participants à ce fil connaissent le théorème de Brouwer, et même en sachant que c'est Brouwer qu'il faut utiliser il a fallut une semaine pour que la solution soit trouvé.

    PS : pour les sceptiques avec l'affirmation "ce n'est pas parce que c'est simple, que c'est facile à trouver", c'est le principe des problèmes NP-complets, où il est facile de vérifier que la solution trouvé est bien solution, mais elle est difficile à trouver, si cette argument ne suffit pas, qu'ils essaient de calculer la factorielle alléger que je propose, par exemple.
  • 1528
    1528
    Au moment où je poste, je vois que la question a été postée il y a 7 jours et que le théorème de Brouwer a été évoqué il y a 7 jours. Voilà qui contredit ton affirmation, contrexemple.
  • pourexemple
    pourexemple
    Citation contrexemple :
    Je suppose que la plus part des participants à ce fil connaissent le théorème de Brouwer, et même en sachant que c'est Brouwer qu'il faut utiliser il a fallut une semaine pour que la solution soit trouvé.

    Sachant que 7 jours= 1 semaine, et que la solution n'a été donné qu'aujourd'hui (il y a 23 heures), je pense n'avoir rien dit d'incorrect.
  • 1528
    1528
    Pardon j'avais mal lu.

    Il y a effectivement eu une semaine entre le message de Neptune évoquant le théorème de Brouwer et la preuve détaillée par Neptune. Mais on ne peut certainement pas en conclure qu'il a fallu une semaine pour que quelqu'un trouve la preuve ! Neptune n'a détaillé la preuve que quand tu le lui as demandé. Avant il considérait très très probablement le problème comme plié. En bref, le problème a été plié dès les premiers messages :-).
  • pourexemple
    pourexemple
    Tu as raison, Neptune peut trancher entre nos deux versions.

    @ Neptune : as-tu trouvé la solution le moment même où j'ai confirmé que c'est bien Brouwer, ou bien t'a-t-il fallut plus de temps ?
  • Neptune
    Neptune
    Bonsoir,

    En fait quand tu as confirmé qu'il fallait utiliser Brouwer, j'avais un peu l'idée de la preuve en tête, mais comme ce type de gros résultats peut parfois induire en erreur, je n'étais pas sûr de moi. Mais en gros, j'avais déjà la preuve en tête peu après ta confirmation. En fin de compte quand j'ai rédigé aujourd'hui c'était la même chose que ce que j'avais en tête, la rédaction a dissipé les derniers doutes, mais il n'y a pas eu de changement.
  • pourexemple
    pourexemple
    Bonsoir,

    Disons qu'en l'espèce ce n'est pas un exemple, de "ce n'est pas parce que c'est simple, que c'est facile à trouver", mais je ne perds pas espoir de trouver un exemple convaincant, avec par exemple la factorielle allégée où je me montrerais plus avare en indice qu'ici.

    Bonne soirée.
  • Neptune
    Neptune
    En tout cas j'ai l'impression que le résultat en soit est très fort, et pourrait être d'une difficulté "équivalente" à Brouwer s'il fallait le démontrer directement sans utiliser Brouwer.
  • L'Axone du Choix
    L'Axone du Choix
    Tu sais, ce n'est pas parce que personne ne résout un problème que tu proposes que tout le monde le trouve trés difficile. C'est un grand classique, ta "factorielle allégée".
  • christophe c
    christophe c
    @neptune: il semble que pea n'a pas utilisé Brouwer http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,1298775,1298907#msg-1298907 , mais je n'ai pas trop fait l'effort de lire pas à pas son argument.
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • pourexemple
    pourexemple
    Bonjour,

    @Axone du Choix : je n'ai pas dit qu'il était difficile, j'ai juste dit que "simple" n'est pas équivalent de facile à trouver.
    Ensuite pour la factorielle allégée si tu as un lien, ou bien une méthode classique à proposer, je suis preneur.

    @CC : la démo de Péa utilise l'hypothèse $f \in C^1$.

    Bonne journée.
  • christophe c
    christophe c
    Ca ne change rien, l'implication $TonTruc(C^1)$=>$TonTruc(C^0)$ est triviale.
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • pourexemple
    pourexemple
    Ah bon, et pourquoi ?
  • christophe c
    christophe c
    Tu approximes les $C^0$ par des $C^1$, c'est routinier si tu préfères, un truc que plein de gens sont appelés à faire tout le temps
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • pourexemple
    pourexemple
    J'ai répondu à cela ici : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,1298775,1298925#msg-1298925
  • pourexemple
    pourexemple
    Il faudrait trouver une suite de fonctions $C^1$, sur la boule fermée unité, avec la norme de la dérivée bornée par une constante M valable pour n'importe qu'elle fonction, ce qui revient à dire que $f$ est M-lipschitzienne.
  • 1528
    1528
    Si tu reprends la preuve, tu vois que tu peux raisonner sur la même boule pour les différentes approximations (dès que les approximations sont suffisamment bonnes). Je n'ai pas regardé les détails ensuite mais la compacité et l'uniformité ont l'air de donner le résultat de manière classique.
  • pourexemple
    pourexemple
    Le cas f lipschitzienne étant évident, avec le théorème de point fixe des fonctions contractantes.
  • pourexemple
    pourexemple
    @1528 : on a aussi besoin que la dérivée soit bornée.
  • 1528
    1528
    Effectivement. Comme quoi c'est bel et bien risqué de ne pas regarder les détails. Je laisse ceux qui sont motivés voir si on peut réparer facilement :-).
  • Neptune
    Neptune
    C'est pas forcément facile de passer du cas $C^1$ au cas $C^0$, surtout quand un résultat est "proche" de Brouwer. Il n'y a qu'à voir par exemple le théorème d'invariance du domaine de Brouwer, le cas $C^1$ est trivial, le cas $C^0$ est de difficulté proche du théorème du point fixe.
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