problème sur une suite d'intégrales

Bonjour,

Voici un problème sur lequel je bloque. J'apprécierais toute proposition de tentative pour approcher la solution.

Soit $\theta \in [0,1]$. On définit par récurrence les fonctions $f_n \colon [0,1] \to [0,1/2]$ par $f_0(u)=\min\bigl\{u,1-u\bigr\}$ et $$f_{n+1}(u) = \min\left\{f_{n}(u), \frac{1}{2}\bigl(f_{n}(u+2^{n}\theta \bmod 1) + f_{n}(u-2^{n}\theta \bmod1)\bigr) \right\}.$$
La question est de savoir si $\int_0^1 f_n \to 0$.

Je sais que ce n'est pas le cas lorsque $\theta$ est rationnel. Ça peut se voir de la façon suivante. On a $f_n \geq g_n$ où les fonctions $g_n$ sont récursivement définies par $g_0=f_0$ et $$g_{n+1}(u) = \min\bigl\{g_{n}(u), g_{n}(u+2^{n}\theta \bmod 1), g_{n}(u-2^{n}\theta \bmod1) \bigr\}.$$ Quand $\theta$ est rationnel, cette construction s'arrête : $g_{n+1}=g_n$ à partir d'un certain $n$. Je ne l'ai pas démontré mais je l'ai observé sur un tas d'exemples, il semble que ça s'arrête à partir de $n = \lfloor\log_2 q\rfloor$ lorsque $\theta=p/q$. Voir la figure ci-dessous où $\theta=2/5$. Quand la construction s'arrête, la fonction $g_n$ est "la fonction $1/q$-périodique en dents de scie". Donc $\int f_n \not\to 0$ dans ce cas.

Je pense avoir démontré que $\int_0^1 f_n \to 0$ lorsque la suite $\{2^n\theta \bmod 1\}$ est dense dans $[0,1[$. Mais pas directement : j'ai un problème qui, si je ne me suis pas trompé, est équivalent à $\int_0^1 f_n \overset{?}{\to} 0$, et je l'ai démontré en passant par ce problème équivalent. Je n'expose pas ce problème ici, c'est une longue histoire.

Donc, en résumé, voici les questions :

- sauriez-vous démontrer que $\int_0^1 f_n \to 0$ lorsque la suite $\{2^n\theta \bmod 1\}$ est dense dans $[0,1[$ ? (ce qui confirmerait ce que j'ai trouvé en passant par mon problème équivalent) ;

- est-ce que $\int_0^1 f_n \to 0$ lorsque $\theta$ est irrationnel et la suite $\{2^n\theta \bmod 1\}$ n'est pas dense dans $[0,1[$ ?