un résultat général sur les suites.

pourexemple · September 2016

Bonjour
Une belle surprise ?

Soit $(u_n)\in \R^{\N^*}$, tel que $v_n=\frac{u_n}{n}$ croît en convergeant dans $\R$ et pour tout $n\in \N^*$, $ v_{n+2}-2v_{n+1}+v_n \leq 0$,
alors $u_{n+1}-u_{n}$ converge.

Bonne journée.

rakam · September 2016

Bonjour !
En prenant $u_0=-1,\;n>0\implies u_n=n$ il y a un problème lorsque $m=n=0$

pourexemple · September 2016

il faut aussi que $\frac{u_n}{n}$ décroit, ce qui n'est pas le cas avec ton exemple.
Oui, tu as raison (n=0) définition floue, je vais modifier mon énoncé

pourexemple · September 2016

En fait je me rends compte que c'est évident.

Voilà, le résultat plus fort montrer qu'alors $u_{n+1}-u_{n}$ converge.

Siméon · September 2016

Tel quel, ton énoncé est faux.

pourexemple · September 2016

Pourquoi ?

Siméon · September 2016

Parce qu'on peut trouver une suite $(u_n)_n$ telle que $(u_n/n)_n$ est décroissante et convergente sans que $( u_{n+1} - u_n)_n$ converge. Par exemple
$$
u_n = n\sum_{m > \sqrt{n}} \frac{1}{m^2}.
$$

pourexemple · September 2016

retrait des indices

Siméon · September 2016

Une série $\sum_n a_n$ peut être convergente sans que $n\, a_n$ tende vers $0$.

pourexemple · September 2016

Merci.
Retrait des indices, j'ai corrigé mon énoncé.

Siméon · September 2016

Maintenant c'est juste, mais c'est beaucoup moins surprenant qu'avant.

pourexemple · September 2016

Exact.

Et comme cela c'est pas plus surprenant :

Soit $f$ croissante concave sur $\R^+$, et $a>0$ alors la suite $(n+1)\times af((n+1)\times a)-n\times af(n\times a)$ converge en l'infini.

Rassure-moi, c'est bien un corollaire (surprenant) de mon premier exo.

GaBuZoMeu · September 2016

Ce dernier message aussi, il va falloir que tu l'édites 17 fois pour arriver à un énoncé qui ne soit pas faux ?

pourexemple · September 2016

Corollaire étonnant souhaité :
Soit $f$ croissante concave et majorée de $\R^+$ dans $\R$ alors $f(x)=l+o(\frac{1}{x})$ en $+\infty$.

Dom · September 2016

Heu...
$x \mapsto -x$ sur $\mathbb R^+$ ?

Pardon mal lu ("croissante").

Siméon · September 2016

@contre-exemple : en effet, ce serait étonnant ;-)

rémi · September 2016

Ce qui est dommage, c'est de ne plus avoir le message initial. Le fil de discussion perd tout son sens pour celui qui n'était pas là au début.

pourexemple · September 2016

C'est le secret de fabrication... :-D

Le premier résultat était faux, il manqué l'hypothèse $v_{n+2}-2 v_{n+1}+v_n \leq 0$
Mais sans cette hypothèse on peut montrer que $\forall n,m \in {\N^*}^2, u_{n+m}\leq u_n+u_m$, c'était mon première énoncé, et je me suis rendu compte qu'en fait c'était évident.

Après le résultat est juste mais moins tape à l'oeil, et donc je me dis que si j'arrive à utiliser ce résultat pour prouver le corollaire souhaité, cela le rendrait plus attractif.

J'espère que ces quelques informations te permettront de donné du sens à ce fil.

verdurin · September 2016

À propos du corollaire, que penser de la fonction
$$ x \mapsto 1-\frac1{\ln(x+2)} $$
Elle est définie sur $\R^+$ croissante, majorée et concave.
(Sauf erreur de ma part)

jpv06 · September 2016

"Converge en l'infini" ?.A mon époque, on disait divergente, mais j'ai dû rater des épisodes :-)
Cordialement.

pourexemple · September 2016

@verdurin : tu as raison, mon corollaire souhaité est à revoir.

verdurin · September 2016

À revoir vraiment.
je ne pense pas que l'on puisse trouver une fonction $h$ tel que, quelque soit la fonction $f$ vérifiant tes hypothèses, on ait $f(x)=\ell+o(h(x)) $ en $+\infty$ et $\lim_{+\infty}h=0$

pourexemple · September 2016

Bonsoir,

Je pense que le résultat à un intérêt en lui même.

Bonne soirée.

pourexemple · September 2016

Bonsoir,

Soit $f$ fonction croissante concave majorée sur $\R^+$ dans $\R$, alors $nf(n)-(n+1)f(n+1)$ converge.

Bonne soirée.

pourexemple · September 2016

Bonjour,

un nouveau...

On pose $I=[1,+\infty[$ Soit $f\in C^1(I,I)$ tel que :
-$\forall x \in I, 2 x|f'(x)|^{\frac{1}{2}}\leq |f(x)|$,
-la limite de $f$ en $+\infty$ est $+\infty$,
et soit la suite récurrente $(x_n)_n$ tel que $x_0 \in I$ tel que $x_{n+1}=f(x_n)$.
Montrer qu'alors $x_n$ tend vers l'infini.

PS : en attente de validation.

Bonne journée.

pourexemple · September 2016

Bonsoir,

Ce résultat est-il connu ?

$(a_n)_n$ une suite croissante convergente et $(u_n)_n$ une suite de réel positif, si la série de terme général $u_n(a_{n+1}-a_n)$ converge montrer alors la série de terme général : $\sqrt{u_n}(a_{n+1}-a_n)$ converge.

Bonne soirée.

aléa · September 2016

$a_n=1-1/n$ et $u_n=n^{\alpha}$ avec $\alpha$ bien choisi devrait donner un contre-exemple, non ?

YvesM · September 2016

Bonjour @aléa,

Non, ce n'est pas un contre-exemple.

pourexemple · September 2016

Ce résultat ne serait pas connu ?

1528 · September 2016

Cela découle simple de l'inégalité, pour tout $x$ positif, $\sqrt{x} \le 1 + x$.

Connu, pas connu... C'est un exercice élémentaire. C'est comme si je demandais si 414351+5435345=5849696 était un résultat connu.

pourexemple · September 2016

Par la même méthode et sous l'hypothèse $a_n$ tend vers l'infini, on obtient :
la série de terme général $u_n(a_{n+1}-a_{n})$ converge ssi alors la série de terme général $\frac{1}{u_n}(a_{n+1}-a_{n})$ diverge.

1528 · September 2016

Non. Contre-exemple avec $(u_n)$ constante égale à $1$. Je ne vois pas où tu veux en venir, je vais arrêter la discussion ici.

pourexemple · September 2016

Oui désolé je me suis trompé ce n'est pas une équivalence.

Si quelqu'un voit une démonstration aussi simple que celle proposé par 1528 pour l'exercice précédent je suis preneur.