un résultat général sur les suites.
dans Analyse
Bonjour
Une belle surprise ?
Soit $(u_n)\in \R^{\N^*}$, tel que $v_n=\frac{u_n}{n}$ croît en convergeant dans $\R$ et pour tout $n\in \N^*$, $ v_{n+2}-2v_{n+1}+v_n \leq 0$,
alors $u_{n+1}-u_{n}$ converge.
Bonne journée.
Une belle surprise ?
Soit $(u_n)\in \R^{\N^*}$, tel que $v_n=\frac{u_n}{n}$ croît en convergeant dans $\R$ et pour tout $n\in \N^*$, $ v_{n+2}-2v_{n+1}+v_n \leq 0$,
alors $u_{n+1}-u_{n}$ converge.
Bonne journée.
Réponses
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Bonjour !
En prenant $u_0=-1,\;n>0\implies u_n=n$ il y a un problème lorsque $m=n=0$ -
il faut aussi que $\frac{u_n}{n}$ décroit, ce qui n'est pas le cas avec ton exemple.
Oui, tu as raison (n=0) définition floue, je vais modifier mon énoncé -
En fait je me rends compte que c'est évident.
Voilà, le résultat plus fort montrer qu'alors $u_{n+1}-u_{n}$ converge. -
Tel quel, ton énoncé est faux.
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Pourquoi ?
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Parce qu'on peut trouver une suite $(u_n)_n$ telle que $(u_n/n)_n$ est décroissante et convergente sans que $( u_{n+1} - u_n)_n$ converge. Par exemple
$$
u_n = n\sum_{m > \sqrt{n}} \frac{1}{m^2}.
$$ -
retrait des indices
-
Une série $\sum_n a_n$ peut être convergente sans que $n\, a_n$ tende vers $0$.
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Merci.
Retrait des indices, j'ai corrigé mon énoncé. -
Maintenant c'est juste, mais c'est beaucoup moins surprenant qu'avant.
-
Exact.
Et comme cela c'est pas plus surprenant :
Soit $f$ croissante concave sur $\R^+$, et $a>0$ alors la suite $(n+1)\times af((n+1)\times a)-n\times af(n\times a)$ converge en l'infini.
Rassure-moi, c'est bien un corollaire (surprenant) de mon premier exo. -
Ce dernier message aussi, il va falloir que tu l'édites 17 fois pour arriver à un énoncé qui ne soit pas faux ?
-
Corollaire étonnant souhaité :
Soit $f$ croissante concave et majorée de $\R^+$ dans $\R$ alors $f(x)=l+o(\frac{1}{x})$ en $+\infty$. -
Heu...
$x \mapsto -x$ sur $\mathbb R^+$ ?
Pardon mal lu ("croissante"). -
@contre-exemple : en effet, ce serait étonnant ;-)
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Ce qui est dommage, c'est de ne plus avoir le message initial. Le fil de discussion perd tout son sens pour celui qui n'était pas là au début.
-
C'est le secret de fabrication... :-D
Le premier résultat était faux, il manqué l'hypothèse $v_{n+2}-2 v_{n+1}+v_n \leq 0$
Mais sans cette hypothèse on peut montrer que $\forall n,m \in {\N^*}^2, u_{n+m}\leq u_n+u_m$, c'était mon première énoncé, et je me suis rendu compte qu'en fait c'était évident.
Après le résultat est juste mais moins tape à l'oeil, et donc je me dis que si j'arrive à utiliser ce résultat pour prouver le corollaire souhaité, cela le rendrait plus attractif.
J'espère que ces quelques informations te permettront de donné du sens à ce fil. -
À propos du corollaire, que penser de la fonction
$$ x \mapsto 1-\frac1{\ln(x+2)} $$
Elle est définie sur $\R^+$ croissante, majorée et concave.
(Sauf erreur de ma part) -
"Converge en l'infini" ?.A mon époque, on disait divergente, mais j'ai dû rater des épisodes :-)
Cordialement. -
@verdurin : tu as raison, mon corollaire souhaité est à revoir.
-
À revoir vraiment.
je ne pense pas que l'on puisse trouver une fonction $h$ tel que, quelque soit la fonction $f$ vérifiant tes hypothèses, on ait $f(x)=\ell+o(h(x)) $ en $+\infty$ et $\lim_{+\infty}h=0$ -
Bonsoir,
Je pense que le résultat à un intérêt en lui même.
Bonne soirée. -
Bonsoir,
Soit $f$ fonction croissante concave majorée sur $\R^+$ dans $\R$, alors $nf(n)-(n+1)f(n+1)$ converge.
Bonne soirée. -
Bonjour,
un nouveau...
On pose $I=[1,+\infty[$ Soit $f\in C^1(I,I)$ tel que :
-$\forall x \in I, 2 x|f'(x)|^{\frac{1}{2}}\leq |f(x)|$,
-la limite de $f$ en $+\infty$ est $+\infty$,
et soit la suite récurrente $(x_n)_n$ tel que $x_0 \in I$ tel que $x_{n+1}=f(x_n)$.
Montrer qu'alors $x_n$ tend vers l'infini.
PS : en attente de validation.
Bonne journée. -
Bonsoir,
Ce résultat est-il connu ?
$(a_n)_n$ une suite croissante convergente et $(u_n)_n$ une suite de réel positif, si la série de terme général $u_n(a_{n+1}-a_n)$ converge montrer alors la série de terme général : $\sqrt{u_n}(a_{n+1}-a_n)$ converge.
Bonne soirée. -
$a_n=1-1/n$ et $u_n=n^{\alpha}$ avec $\alpha$ bien choisi devrait donner un contre-exemple, non ?
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Ce résultat ne serait pas connu ?
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Cela découle simple de l'inégalité, pour tout $x$ positif, $\sqrt{x} \le 1 + x$.
Connu, pas connu... C'est un exercice élémentaire. C'est comme si je demandais si 414351+5435345=5849696 était un résultat connu. -
Par la même méthode et sous l'hypothèse $a_n$ tend vers l'infini, on obtient :
la série de terme général $u_n(a_{n+1}-a_{n})$ converge ssi alors la série de terme général $\frac{1}{u_n}(a_{n+1}-a_{n})$ diverge. -
Non. Contre-exemple avec $(u_n)$ constante égale à $1$. Je ne vois pas où tu veux en venir, je vais arrêter la discussion ici.
-
Oui désolé je me suis trompé ce n'est pas une équivalence.
Si quelqu'un voit une démonstration aussi simple que celle proposé par 1528 pour l'exercice précédent je suis preneur. -
Oui, j'avais bien écrit une équivalence que j'ai corrigé en même temps que tu postais ta réponse.
-
Il faut que tu arrêtes de modifier tes messages... Tu vois bien les problèmes que cela pose non ? C'est vraiment détestable.
-
Oui, c'est vrai désolé...
-
Sinon il y a d'autre équations fonctionnelles disponibles 65,66
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Bonjour!
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