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Existe ou n'existe pas ?

Envoyé par pourexemple 
Existe ou n'existe pas ?
il y a quatre années
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Bonjour,

On se place dans $\R^2$ euclidien, $B(a,r)$ la boule fermée, $B^o(a,r)$ est la boule ouverte.

Existe-t-il, $f \text{ : } B(0,1) \rightarrow (B(0,2)\setminus B^o(0,1))$ fonction continue et surjective ?

Bonne journée.



Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a quatre années et a été effectuée par AD.
Re: Existe ou existe pas ?
il y a quatre années
avatar
Oui : prend ta boule fermée, envoie la sur le rectangle $[0;1]\times[0;2\pi]$ puis "enroule" ce rectangles dans ta couronne. Il faut un peu compresser le rectangle pour ça mais toutes les opérations ici sont continues.
Re: Existe ou existe pas ?
il y a quatre années
Oui, bien sûr. On étire le rond de pâte dans une direction, et on en fait un anneau.
Re: Existe ou existe pas ?
il y a quatre années
avatar
@Mojojojo : Bravo.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a quatre années et a été effectuée par pourexemple.
Re: Existe ou existe pas ?
il y a quatre années
avatar
Même question

2/en supposant $f$ injective.

3/Puis en supposant $f$ bijective.
Re: Existe ou existe pas ?
il y a quatre années
avatar
Citation
pourexemple
Même question

2/en supposant $f$ injective.

Tu n'as pas vraiment réfléchi à la question pour $f$ injective non ?

Pour $f$ bijective c'est non, l'un est simplement connexe et l'autre non.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a quatre années et a été effectuée par mojojojo.
Re: Existe ou existe pas ?
il y a quatre années
avatar
pour le 2/ Si, si j'ai une réponse (en changeant légerement la réponse que tu proposes)

pour le 3/ si tu as une réponse en utilisant le programme de L3 max je suis preneur.
Re: Existe ou existe pas ?
il y a quatre années
avatar
Je viens de te la donner la réponse pour la 3... Bon pour être exact il faut aussi utiliser le fait qu'une bijection continue entre deux compacts est un homéomorphisme.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a quatre années et a été effectuée par AD.
Re: Existe ou n'existe pas ?
il y a quatre années
@mojojojo : ce qui ne dépasse pas le cadre du programme de L3.
Re: Existe ou n'existe pas ?
il y a quatre années
avatar
Oui oui je sais mais l'argument d'homéomorphisme manquait dans mon premier message pour que ce soit vraiment complet.
Re: Existe ou n'existe pas ?
il y a quatre années
En l'absence de smileys ironiques, les lecteurs croiront qu'un L3 en moyenne comprend ça.

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Re: Existe ou n'existe pas ?
il y a quatre années
Mon message n'avait rien d'ironique. Le théorème cité par mojojojo est accessible (et même élémentaire) au programme de L3. Après je ne porterai pas de jugement sur "niveau moyen" des L3.
Re: Existe ou n'existe pas ?
il y a quatre années
Oups pardonne-moi!

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Re: Existe ou n'existe pas ?
il y a quatre années
avatar
Ok, @Mojojojo : une idée de la rédaction, pour montrer que les parties simplement connexes et non simplement connexes ne sont pas homéomorphes, parce que j'aurais eu tendance à utiliser le goupe fondamental $\pi_0$.
Re: Existe ou n'existe pas ?
il y a quatre années
Citation

une idée de la rédaction, pour montrer que les parties simplement connexes et non simplement connexes ne sont pas homéomorphes, parce que j'aurais eu tendance à utiliser le goupe fondamental $\pi_0$.

Le groupe fondamental, ce n'est pas $\pi_0$, l'ensemble des composantes connexes par arcs, mais $\pi_1$. Et je ne vois pas la différence entre dire qu'un espace est simplement connexe et dire que son groupe fondamental est trivial.
Re: Existe ou n'existe pas ?
il y a quatre années
avatar
Oui, $\pi_1$ dans les 2 cas le groupe fondamentale n'est pas le même, comme c'est un invariant topologique cela permet de conclure.

Mais j'aurais aimé une preuve sans tous ces artifices.

Merci.
Re: Existe ou n'existe pas ?
il y a quatre années
avatar
Il ne faut pas avoir peur du groupe fondamental. Et même si le groupe fondamental en tant que tel n'est pas souvent abordé en L3 les lacets et les homotopies eux le sont généralement, pendant le cours d'analyse complexe par exemple.

D'ailleurs ici on peu se contenter de lacets et d'homotopie, peu importe la structure de groupe, pas besoin de fixer de point de départ etc... Voir qu'un homéomorphisme réalise une bijection des lacets homotopes au lacet nul ne devrait pas poser de problème à un étudiant de L3. Ensuite pour voir que ta couronne n'est pas simplement connexe il suffit d'intégrer $1/z$ le long d'un cercle et voir que ça ne fait pas $0$. Je trouve que c'est un résultat qui utilise joliment topologie et analyse complexe de niveau L3 !

Sinon moi j'aurais tendance à penser qu'il ne s'agit pas "d'artifices", voir même plutôt l'inverse : en dimension $2$ l'homotopie suffit mais en dimension $>2$ c'est plus compliqué et il faut sortir les gros outils. D'un certain point de vue c'est donc presque une chance qu'il n'y ait besoin que du $\pi_1$ pour conclure.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a quatre années et a été effectuée par mojojojo.
Re: Existe ou n'existe pas ?
il y a quatre années
Les gens ne vont pas sauter de joie en lisant que le groupe associé à un espace topologique est "un artifice" grinning smiley Tu peux essayer de réfléchir à prouver que le disque n'est pas homéomorphe à $C\times J$ en notant $J$ un segment et $C$ un cercle.

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Re: Existe ou n'existe pas ?
il y a quatre années
avatar
@Mojojojo : bravo et merci.
Re: Existe ou n'existe pas ?
il y a quatre années
Hs on:
mojojojo, en L3 on n’aborde pas nécessairement l'homotopie, je n'ai vu que la définition d'un lacet homologue à $0.$ Je n'ai encore jamais entendu parler d'homotopie, ça devrait arriver la semaine prochaine ;)
Hs off



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a quatre années et a été effectuée par AD.
Re: Existe ou n'existe pas ?
il y a quatre années
avatar
@siegfried et tu ne seras plus en L3 la semaine prochaine ? grinning smiley
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