Dominé entièrement ?

max8128
Que dit le théorème de Weierstrass?

@gebrane0 Il dit ceci

Euh n'y aurait-il pas anguille sous roche ? Je repense par là au titre du fil...il doit y avoir beaucoup plus simple .

La réponse positive est une conséquence du théorème d'approximation de Whitney, dont une version affaiblie est que toute fonction continue de $\R^n$ dans $\R$ est limite uniforme de fonctions analytiques réelles sur $\R^n$.

L'article de Whitney est ici, tu peux lire le lemme 6 de l'article.
Si tu penses avoir un contre-exemple, explicite-le.

Bon ok je vois déjà qu'il y a un premier problème de vocabulaire. DSE je suppose que ça veut dire "développable en série entière" (et d'ailleurs tu aurais du le préciser dans ton premier message, je n'avais jamais vu cette abréviation...). Pour moi c'est équivalent à analytique. Pour toi visiblement c'est équivalent à "se prolonge en une fonction entière". Ce qui est évidemment différent et a déjà entraîné des quiproquos.

Par exemple $\exp(-1/(x^2+1))$ est analytique sur $\mathbf R$, et donc pour moi développable en série entière.

pe a écrit:

je suspecte ces "résultats" (par exemple résultat de Whitney) de prouver des résultats censés être indécidable.

heu... ?

Il me semble qu'on peut montrer le résultat plus fort suivant: Soit $f:\mathbb{R}\to \mathbb{C}$ une fonction localement bornée alors il existe une fonction entière $F$ sur $\mathbb{C}$ prenant des valeurs réelles sur $\mathbb{R}$ telle que $\lvert f(x)\rvert\leqslant F(x)$ pour tout $x\in \mathbb{R}$.

Preuve: Il suffit de montrer que pour toute telle fonction $f$ il existe une fonction entière $F_+:\mathbb{C}\to \mathbb{C}$ à valeurs réelles sur $\mathbb{R}$ telle que $\lvert f(x)\rvert \leqslant F(x)$ pour tout $x\geqslant 0$. En effet, si cela était le cas en considérant la fonction $x\mapsto f(-x)$ on pourrait aussi majorer $f$ par une fonction entière $F_-$ sur $\mathbb{R}_-$ et alors $\lvert f(x)\rvert\leqslant F_+(x)^2+F_-(x)^2+1$ pour tout $x\in \mathbb{R}$. Quitte à translater $f$ il suffit même de la majorer par une fonction entière sur $[1,+\infty[$. On cherche notre fonction $F$ de la forme

$\displaystyle F(x)=\sum_{n=1}^\infty\sum_{i=k_n+1}^{k_{n+1}} \frac{x^i}{n^i}$

où $(k_n)_{n\geqslant 1}$ est une suite strictement croissante d'entiers naturels. Clairement on a

$\displaystyle F(x)\geqslant S_n(x):=\sum_{i=k_n+1}^{k_{n+1}} \frac{x^i}{n^i}$

et il suffit donc de s'assurer que $S_n(x)\geqslant M_n:=\sup_{x\in [n,n+1]} \lvert f(x)\rvert$ pour tout $x\in [n,n+1]$ et pour tout $n\geqslant 1$. On vérifie que cela est possible en construisant notre suite $(k_n)_{n\geqslant 1}$ par récurrence. On pose $k_1=0$. Supposons notre suite construite jusqu'au rang $n$. On doit choisir l'entier $k_{n+1}$ de sorte que $S_n(x)\geqslant M_n$ pour tout $x\in [n,n+1]$. Or, pour tout $x\in [n,n+1]$ on a

$\displaystyle S_n(x)\geqslant S_n(n)=\sum_{i=k_n+1}^{k_{n+1}} \frac{n^i}{n^i}=k_{n+1}-k_n$

Il suffit donc de prendre $k_{n+1}\geqslant M_n+k_n$.

Moi, M'sieur, je sais ! Parce que le coefficient de $x^i$ est de la forme $a(i)^i$ avec $a(i)$ qui tend vers $0$ (en prenant son temps) quand $i$ tend vers l'infini.

Merci pour la précision GaBuZoMeu. Quand j'avais cherché "théorème de Carleman" je n'étais tombé que sur des histoires de classes quasi analytiques de fonctions...