Dominé entièrement ?
dans Analyse
Salut,
Soit $f\in C^0(\R)$. Existe-t-il, $g$ DSE sur $\R$ tel que $|f|\leq g$ ?
Cordialement.
Soit $f\in C^0(\R)$. Existe-t-il, $g$ DSE sur $\R$ tel que $|f|\leq g$ ?
Cordialement.
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Réponses
Ps: tu deviens quoi ?
Que dit le théorème de Weierstrass?
Il me semble que la réponse est non.
PS : je continue à construire des ponts.
n'est ce pas Max?
Possible.
Tu peux me donner la suite de fonctions analytiques ayant pour limite uniforme sur $\R$ $x\rightarrow \exp(-1/x^2)$
Merci.
Si tu penses avoir un contre-exemple, explicite-le.
Pour ta suite de fonctions il suffit de prendre $\exp(-1/(x^2+1/n))$.
C'est marrant quand même ce théorème de Whitney. Je me pose une question : soit $f$ une fonction continue de $\mathbf R$ dans $\mathbf R$, est-ce qu'il existe une fonction entière $g(z)=\sum a_n z^n $ (de rayon de convergence $+\infty$) telle que $|f|\leq |g|$ sur $\mathbf R$ ?
En fait ta question prends tout son sens (pour moi), quand on se rappelle que $\frac{1}{1+x^2}$ est analytique sur $\R$, mais pas sur $\C$.
édit: ton exemple n'est pas DSE sur $\R$, ce qui revient à demander un rayon de convergence infini (mais localement DSE).
Cordialement.
Par exemple $\exp(-1/(x^2+1))$ est analytique sur $\mathbf R$, et donc pour moi développable en série entière.
heu... ?
Bon bah je pense que tu aurais du préciser tout ça (ainsi que la signification de l'acronyme) en début de question... Parce que du coup la version du théorème de Whitney donnée par GBZM ne répond pas à la question.
Cordialement.
On a aussi des version du théorème d'approximation de Whitney avec des fonctions holomorphes sur $\C^n$ tout entier, par exemple ici.
Preuve: Il suffit de montrer que pour toute telle fonction $f$ il existe une fonction entière $F_+:\mathbb{C}\to \mathbb{C}$ à valeurs réelles sur $\mathbb{R}$ telle que $\lvert f(x)\rvert \leqslant F(x)$ pour tout $x\geqslant 0$. En effet, si cela était le cas en considérant la fonction $x\mapsto f(-x)$ on pourrait aussi majorer $f$ par une fonction entière $F_-$ sur $\mathbb{R}_-$ et alors $\lvert f(x)\rvert\leqslant F_+(x)^2+F_-(x)^2+1$ pour tout $x\in \mathbb{R}$. Quitte à translater $f$ il suffit même de la majorer par une fonction entière sur $[1,+\infty[$. On cherche notre fonction $F$ de la forme
$\displaystyle F(x)=\sum_{n=1}^\infty\sum_{i=k_n+1}^{k_{n+1}} \frac{x^i}{n^i}$
où $(k_n)_{n\geqslant 1}$ est une suite strictement croissante d'entiers naturels. Clairement on a
$\displaystyle F(x)\geqslant S_n(x):=\sum_{i=k_n+1}^{k_{n+1}} \frac{x^i}{n^i}$
et il suffit donc de s'assurer que $S_n(x)\geqslant M_n:=\sup_{x\in [n,n+1]} \lvert f(x)\rvert$ pour tout $x\in [n,n+1]$ et pour tout $n\geqslant 1$. On vérifie que cela est possible en construisant notre suite $(k_n)_{n\geqslant 1}$ par récurrence. On pose $k_1=0$. Supposons notre suite construite jusqu'au rang $n$. On doit choisir l'entier $k_{n+1}$ de sorte que $S_n(x)\geqslant M_n$ pour tout $x\in [n,n+1]$. Or, pour tout $x\in [n,n+1]$ on a
$\displaystyle S_n(x)\geqslant S_n(n)=\sum_{i=k_n+1}^{k_{n+1}} \frac{n^i}{n^i}=k_{n+1}-k_n$
Il suffit donc de prendre $k_{n+1}\geqslant M_n+k_n$.