Pensez à lire la Charte avant de poster !

$\newcommand{\K}{\mathbf K}$


Les-Mathematiques.net - Cours de mathématiques supérieures
 Les-Mathematiques.net - Cours de mathématiques universitaires - Forum - Cours à télécharger

A lire
Deug/Prépa
Licence
Agrégation
A télécharger
Télécharger
212 personne(s) sur le site en ce moment
E. Cartan
A lire
Articles
Math/Infos
Récréation
A télécharger
Télécharger
Théorème de Cantor-Bernstein
Théo. Sylow
Théo. Ascoli
Théo. Baire
Loi forte grd nbre
Nains magiques
 
 
 
 
 

Différentielle seconde fonction composée

Envoyé par KastoueMee 
Différentielle seconde fonction composée
14 fvrier 2019, 14:42
Bonjour,

J'essaie de calculer la différentielle seconde de la fonction composée fog avec f de F dans G et g de E dans F.
J'ai essayé plusieurs méthodes telle que voir Dfog comme une fonction composée et répliquer la formule pour différentier une fonction composée mais je tourne en rond...
Je ne trouve pas la démonstration sur internet et je n'ai pas compris la seule que j'ai vue.
Si quelqu'un savait m'aider...
Merci !



Modifié 2 fois. Dernière modification le 15/02/2019 21:10 par KastoueMee.
Re: Différentielle seconde fonction composée
14 fvrier 2019, 15:22
Tu sais que $D_x(f \circ g) = D_{g(x)}(f) \circ D_x(g)$ n'est-ce pas ? Tu cherches maintenant le différentielle de cette application de $x$, qui se trouve être une composée (de composée)... winking smiley



Modifié 1 fois. Dernière modification le 15/02/2019 09:32 par Poirot.
Re: Différentielle seconde fonction composée
14 fvrier 2019, 19:40
Justement, j'ai fait comme ça en posant $D_{g(x)}(f) \circ D_x(g)= \phi \circ \psi (x)$
Avec $\psi : x \mapsto (D_{g(x)}(f) ,D_x(g) )$
Et $ \phi : (F,G) \mapsto F \circ G$
On a donc $ \phi \circ \psi (x) = \phi \big(D_{g(x)}(f) ,D_x(g) \big)=p(x)=D_x(f \circ g)$ et on applique la règles de Leibniz :

$D_hp(x)=\phi \big((D_{g(x)}(f))'.h,D_x(g)\big)+ \phi (D_{g(x)}(f), (D_x(g))'.h)$ d'où
\begin{align*}
D\big(D(f \circ g)\big).x.h&=D_hp(x) \\
&= \phi \big(D_{g(x)}^2(f).h,D_x(g)\big)+\phi\big(D_{g(x)}(f),D_x^2(g)\big) \\
&= D_{g(x)}^2(f).h \circ D_x(g) + D_{g(x)}(f) \circ D_x^2(g).h

\end{align*} Mais ce n'est pas la bonne formule, et en plus le résultat ne semble pas homogène, je n'arrive pas à trouver mon erreur...



Modifié 3 fois. Dernière modification le 15/02/2019 21:20 par KastoueMee.
Re: Différentielle seconde fonction composée
15 fvrier 2019, 09:37
Je pense que ton erreur vient du fait que tu ne différenties pas correctement en $x$ le $D_{g(x)}(f)$, c'est à nouveau une composée, la différentielle de $g$ devrait sortir à un moment.
Re: Différentielle seconde fonction composée
15 fvrier 2019, 21:14
$D_{g(x)}(f)$ se décomposerai simplement en $D(f) \circ g(x)$ ?

Dans ce cas on aurait :

$\begin{align*}
\big(D_{g(x)}(f)\big)' &=D \big( D_{g(x)}(f) \big) \circ D_{x}(g) \\
&=D^2_{g(x)}(f) \circ D_x(g)
\end{align*}$

D'où

$\begin{align*}
D_x\big(D(f \circ g)\big).h&= \phi \big(D^2_{g(x)}(f) \circ D_x(g) .h,D_x(g)\big)+\phi \big(D_{g(x)}(f),D_x^2(g)\big) \\
&=D^2_{g(x)}(f) \circ D_x(g) .h \circ D_x(g) + D_{g(x)}(f) \circ D_x^2(g).h

\end{align*}$

Et enfin

$
D_x\big(D(f \circ g)\big).h.h'=D^2_{g(x)}(f) \circ D_x(g) .h \circ D_x(g).h' + D_{g(x)}(f) \circ D_x^2(g).h.h' \in G$

Avec $ (h,h') \in E^2$

Je retrouve enfin la formule que je cherchais à démontrer !
Ma démarche était-elle rigoureuse ?



Modifié 1 fois. Dernière modification le 15/02/2019 21:14 par KastoueMee.
Re: Différentielle seconde fonction composée
16 fvrier 2019, 13:17
Je n'ai pas vérifié les calculs, mais en effet, $x \mapsto D_{g(x)}(f) = D(f) \circ g$, où $D(f) : y \mapsto D_y(f)$, et il faut bien penser à différentier cette composée. Ravi que tu retrouves la formule que tu souhaitais smiling smiley
Seuls les utilisateurs enregistrés peuvent poster des messages dans ce forum.

Cliquer ici pour vous connecter

Liste des forums - Statistiques du forum

Total
Discussions: 150 567, Messages: 1 527 575, Utilisateurs: 28 074.
Notre dernier utilisateur inscrit cedr.


Ce forum
Discussions: 34 044, Messages: 320 846.

 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
Adresse Mail:

Inscription
Désinscription

Actuellement 16057 abonnés
Qu'est-ce que c'est ?
Taper le mot à rechercher

Mode d'emploi
En vrac

Faites connaître Les-Mathematiques.net à un ami
Curiosités
Participer
Latex et autres....
Collaborateurs
Forum

Nous contacter

Le vote Linux

WWW IMS
Cut the knot
Mac Tutor History...
Number, constant,...
Plouffe's inverter
The Prime page