Limite de f(x) & asymptotes

_OmegaSigmaDelta · March 2019

Bonjour à toutes et tous, j'espère que vous allez bien !
Me voilà de retour, débutant (rhéto) avec un nouveau chapitre sur le calcul des asymptotes de fonctions rationnelles. Je ne vous cache pas que j'ai du mal, mais j'ai compris une chose (pour les anciens qui me connaissent), c'est qu'au lieu de chercher des techniques pour éviter les exercices, il n'y a que le travail qui paie. J'ai décidé de m'y mettre à fond et rendre mon professeur fier de moi.
Bref, je bugue complètement sur les limites de fonctions tendant vers l'infini. Je dois d'abord régler ça avant d'aborder le calcul des asymptotes et apparier des fonctions.
Voici donc un calcul sur lequel je planche, je compte sur votre aide ! 8-)

Calculer les limites suivantes. $$

\lim_{x\to \pm\infty}\frac{1-3x+2x^2}{x^3-4x+3}.

$$ En fait, je ne sais absolument pas par où commencer !
Merci et cordialement,

ev · March 2019

Bonjour Reth.

1/ Écrire les monômes au numérateur dans le même sens qu'au dénominateur.

2/ Poser $ t = \dfrac1x $.

3/ Tu te retrouves avec $ t\dfrac{2-3t+t^2}{1-4t^2+3t^3} $.

4/ Tu effectues un développement limité en zéro à l'ordre au moins deux de $ \dfrac{2-3t+t^2}{1-4t^2+3t^3} $. Zéro pour le coefficient directeur, un pour l'ordonnée à l'origine, deux pour la position par rapport à l'asymptote, trois si le coefficient précédent est nul, etc.

5/ Tu multiplies par $ t $ et tu repasses en $ x $ (coton)

6/ C'est fait. Était-ce si difficile ?

e.v.

JLT · March 2019

$\Omega\Sigma\Delta$ demandait simplement la limite. Pour ça, il suffit d'écrire le numérateur sous la forme $x^2(\cdots)$ et le dénominateur sous la forme $x^3(\cdots)$.

ev · March 2019

Ah oui, j'ai cogné un peu fort.

Comme le faisait remarquer JLT - que je salue - on cherche qui est le patron au numérateur et au dénominateur.

Au numérateur, c'est $ 2 x^2 $. Au dénominateur, c'est $ x ^3 $. On factorise par les patrons au numérateur et au dénominateur.

Ensuite on regarde les patrons discuter entre eux.

e.v.

_OmegaSigmaDelta · March 2019

Bonjour JLT, bonjour ev ! Merci pour vos réponses !
Je suis débutant, très lourdement handicapé en maths... Donc en gros :
(ne m'incendiez pas trop vite si je raconte des bêtises !) :-D
Donc : $$

\lim_{x\to \pm\infty}\frac{1-3x+2x^2}{x^3-4x+3}.

$$ Je ne parviens pas à aller jusqu'au bout de ma factorisation, je tombe sur ça : $$

\lim_{x\to \pm\infty}\frac{x(2x-2)}{x(x^2-1)}.

$$ Simplification : $$

\lim_{x\to \pm\infty}\frac{2x-2}{x^2-1}

$$ Je ne vois toujours pas jusqu'où je peux aller avec ça, j'ai loupé le chapitre précédent sur les conditions d'existence...

Cdlt,

keijin · March 2019

Bonjour,

Comment as-tu factorisé ? Car, pour le numérateur, on ferait plutôt :
$2x^2-3x+1=x^2(2-\frac{3x}{x^2}+\frac{1}{x^2})$
Je te laisse simplifier et faire de même pour le dénominateur (avec $x^3$ bien entendu).

_OmegaSigmaDelta · March 2019

Coucou Keijin,

Je suis allé trop vite en voulant me débarrasser de tout simultanément des deux côtés. Mais le problème est qu'on se retrouve encore avec des fractions au dénominateur, même en une seule ligne. En souhaitant évacuer ce problème d'entrée de jeu je me suis retrouvé avec une fraction ultra simplifiée...

Sur ce je dois partir à l'école (5 heures de maths), je sens que ça va être ricrac. On en reparle ce soir !

math2 · March 2019

Le $3x/x^2$ se simplifie et est tout gentil quand $x\to +\infty$ ; le terme en $1/x^2$ est gentil lui aussi ...

ev : j'aime bien la manière dont tu racontes l'histoire :-)

_OmegaSigmaDelta · April 2019

Re les gars...

Mon prof de math a été dépassé par vos explications. Et pourtant c'est un ingénieur civil.

Il m'a fait sortir de classe en me traitant d'idiot. Pour lui, tout cela est futile, puisque selon son avis, je suis un incapable (dixit).

Vu que ma vue s'est affaiblie, je dois porter des lunettes correctrices fumées, je ne peux donc pas placer un graphique "normalement".

Il m'a donc évacué en m'insultant, et pourtant, avec vos explications...

Cela me fait penser à Nietzsche : les fonctionnaires n'engendrent que des fonctionnaires.

@ev : quand j'ai montré au prof ton explication, il m'a humilié en public en traitant cela d'inutile.

B-) :-( :-S

Rubgo · April 2019

Je savais qu'ev n'était qu'un barratineur. Merci oméga de l'avoir démasqué.

_OmegaSigmaDelta · April 2019

Mais en quoi l'explication d'ev est considérée comme inutile et même absurde pour un professeur de maths ?

gerard0 · April 2019

Ev t'a sorti une usine à gaz, que tu as copié bêtement. C'est toi que ton prof a sanctionné. car au lieu de faire toi même une application élémentaire du cours, tu es allé chercher ailleurs et tu t'es fait piéger.

_OmegaSigmaDelta · April 2019

Salut gégé, content de te revoir (façon de parler). Comme d'hab' tu as visé juste. Je me suis fait striker parce que je n'ai pas pu expliquer ce qu'était le $t$ d'ev. Mais le prof aurait pu faire un peu plus sympa au lieu de m'insulter en traitant le calcul d'ev d'inutile et absurde, non ? Tsss.

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