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Preuve de Stone Weierstrass

Envoyé par Gentil 
Preuve de Stone Weierstrass
il y a deux années
Salut à tous !

Pouvez vous m'aider à prouver le théorème de Stone Weierstrass s'il vous plaît.
J'ai une preuve mais elle est fausse, je n'utilise même pas la séparation des points de l'algèbre.
Pouvez vous m'aider à la corriger s'il vous plaît.

On y va : Soit $A$ une sous algèbre de $C^{0}(K)$ avec $K$ un métrique compact.
On suppose que $A$ contient les constantes et $A$ sépare les points de $K$.

Soit $f \in C^{0}(K)$ et soit $\epsilon > 0$.
Montrons qu'il existe $h \in \bar{A}$ tel que pour tout $y \in K$ on a : $f(y) - \epsilon < h(y) < f(y) + \epsilon$.

Tout d'abord montrons que pour tout $x \in K$, il existe $r(x) > 0$ et $h_{x} \in A$ tel que pour tout $y \in B(x,r(x))$ on a : $f(y) - \epsilon < h_{x}(y) < f(y) + \epsilon$.
Puisque $A$ contient les fonctions constantes, il existe $h_{x}$ tel que $h_{x}(x) = f(x)$.
Par continuité de $h$ et $f$ il existe $r(x) >0$ tel que pour tout $y \in B(x,r(x))$ on a : $f(y) - \epsilon < h_{x}(y) < f(y) + \epsilon$.

En effet par continuité de $h_{x}$ en $x$ il existe $r_{1}>0$ tel que $y \in B(x,r_{1}))$ on a : $f(x) - \frac{\epsilon}{2} < h_{x}(y) < f(x) + \frac{\epsilon}{2}$ et par continuité de $f$ en $x$ il existe $r_{2}>0$ tel que $y \in B(x,r_{2}))$ on a : $f(x) - \frac{\epsilon}{2} < f(y) < f(x) + \frac{\epsilon}{2}$ on conclut par soustraction.

A présent par compacité $K = \cup_{i=1}^{n} B(x_{i},r_{i})$ et posons $h = \min_{i = 1,...,n} {h_{x_{i}}}$
Et on a pour tout $y \in K$ on a : $f(y) - \epsilon < h(y) < f(y) + \epsilon$.
Il reste à montrer que $h \in \bar{A}$.

On verra ça plus tard. Pour l'instant je pense qu'il y a une erreur j'aimerais la corriger avant de continuer.

Merci d'avance.



Edité 4 fois. La dernière correction date de il y a deux années et a été effectuée par Gentil.
Re: Preuve de Stone Weierstrass
il y a deux années
Déjà tes $h_x$ sont des fonctions constantes, donc $h$ aussi, ça ne risque pas de marcher ! L'erreur est dans ta dernière étape, pourquoi est-ce qu'on aurait $f(y) - \epsilon < h(y) < f(y) + \epsilon$ pour tout $y \in K$ ? Tu as effectivement la majoration, mais la minoration n'a aucune raison d'être vraie.
Re: Preuve de Stone Weierstrass
il y a deux années
Avec tous le respect que je vous dois, mes $h_{x}$ ne sont pas nécessairement constant, mais j'avoue que cette partie de la tentative de preuve est inquiétante.

Ah oui ! Merci beaucoup, c'est effectivement une erreur pour l'inégalité.
Re: Preuve de Stone Weierstrass
il y a deux années
A présent j'aimerais corriger ma preuve. Comment obtenir l'inégalité qui me manque ?
Re: Preuve de Stone Weierstrass
il y a deux années
Bah tu dis "puisque $A$ contient les constantes, il existe $h_x$ telle que $h_x(x)=f(x)$", je ne vois pas quelle autre fonction $h_x \in A$ tu peux poser a priori si ce n'est $$h_x : y \mapsto f(x).$$
Re: Preuve de Stone Weierstrass
il y a deux années
C'est noté.
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