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Lipschitzienne dans toutes les directions.

Envoyé par Gentil 
Lipschitzienne dans toutes les directions.
il y a deux années
Salut à tous, j'espère que vous passez un bon week-end.
Je réfléchis à deux questions, savez-vous comment les résoudre ?

Soit $f : \R^{n} \rightarrow \R$.
1) Si pour tout $x \in \R^{n}$ et pour tout $i\in {1,\ldots,n},\ |f(x + te_{i}) -f(x)| \le C_{i} |t|$,
alors $f$ est localement Lipschitzienne.

2) Il existe une fonction $f$ non continue telle que $f$ est continue dans toutes les directions (i.e pour tout $x \in \R^{n}$ la fonction $t \mapsto f(x + t e_{i}) $ est continue).

Merci beaucoup.



Edité 3 fois. La dernière correction date de il y a deux années et a été effectuée par AD.
Re: Lipschitzienne dans toutes les directions.
il y a deux années
avatar
Pour la 2)
tu peux prendre $f(x,y)=\frac {xy^2}{x^2+y^4}$ si $(x,y)\neq (0,0)$ et $f(0,0)=0$
La 1) n'est pas quantifiée

Signature: Notre but principal dans cette vie est d' aider les autres . Et si vous ne pouvez pas les aider, au moins ne leur faites pas de mal.
Re: Lipschitzienne dans toutes les directions.
il y a deux années
Bonjour Gebrane.

Merci pour ton contre-exemple. La fonction est continue dans toutes les directions mais n'est pas continue en $0$ en regardant $f(x,x)$ et $f(x^{2},x)$.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a deux années et a été effectuée par AD.
Re: Lipschitzienne dans toutes les directions.
il y a deux années
Veillez m'excuser pour la 1) je vais en dire plus.

Soit $f : \R^{n} \rightarrow \R$.
1) Si pour tout $x \in \R^{n}$ et pour tout $i\in \{1,\ldots,n\},\ |f(x + te_{i}) -f(x)| \le C_{i} |t|$,
alors $f$ est continue. Et plus généralement pour tout compact $K$ de $\R^{n}$ il existe $C_{K}$ qui dépend que du compact de $\R^{n}$ tel que \[
\forall x,y \in K,\ |f(x)-f(y)| \le C_{K} |x-y|.
\]



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a deux années et a été effectuée par AD.
Re: Lipschitzienne dans toutes les directions.
il y a deux années
avatar
Je crois que ce que veux savoir gebrane c'est surtout si le $C$ peut dépendre de $x$ ou non.
Re: Lipschitzienne dans toutes les directions.
il y a deux années
avatar
Si C ne dépend pas de x c'est trivial

Signature: Notre but principal dans cette vie est d' aider les autres . Et si vous ne pouvez pas les aider, au moins ne leur faites pas de mal.
Re: Lipschitzienne dans toutes les directions.
il y a deux années
Chers camarades, en effet, $C_{i}$ dépend de $x$.

Merci pour la précision.
Re: Lipschitzienne dans toutes les directions.
il y a deux années
Bonjour et bon dimanche.

En effet si $C_{i}$ ne dépend pas de $x$, soit $ h = \sum_{i=1}^{n} h_{i}e_{i}$ en notant $u(k) = \sum_{i=1}^{k} h_{i}e_{i}$ on a
\[
|f(x + u(n)) - f(x)| \le |f(x + u(n)) - f(x + u(n-1))| + |f(x+u(n-1)) - f(x)| \le C_{n, x+u(n-1)} |h_{n}| + |f(x+u(n-1)) - f(x)|
\]
Comme $C_{n} = C_{n, x+u(n-1)}$ par itération on a
\[
|f(x + h) - f(x)| \le |h|_{+\infty} (\sum_{i = 1}^{n} C_{i})
\]

Pour généraliser peut être peut-on trouver des propriétés sur les $C_{n}$.
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