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La factorielle l'emporte sur l'exponentielle

Envoyé par Rietveld 
La factorielle l'emporte sur l'exponentielle
l’an passé
Bonjour,

je me questionne sur le choix de la valeur de N dans cette démonstration.
Choisir N = E(|a|) +1 nous assure que $\frac{\left | a \right |}{N} < 1$.

Pourquoi découper ce produit en conservant le facteur $\frac{\left | a \right |}{N}$ dans la parenthèse de gauche au lieu de la mettre avec les facteurs de la parenthèse de droite ?

Si j'ai bien compris l'idée de l'auteur de la démonstration, il souhaite regrouper les facteurs strictement inférieurs à 1, pour pouvoir obtenir la majoration :
$\frac{\left | a \right |}{N+1}\cdot\frac{\left | a \right |}{N+2}\cdots\frac{\left | a \right |}{n}\leqslant \frac{\left | a \right |}{n}$ ?

J'ai l'impression qu'il découpe sa liste trop tard, bien que cela soit juste.
Qu'en pensez-vous ?

Pour ma part, j'aurais plutôt essayé de faire apparaître une suite géométrique.


Re: La factorielle l'emporte sur l'exponentielle
l’an passé
Comme tu dis, ça ne change rien au résultat. L'auteur a donné une valeur FIXE à la parenthèse de gauche, à multiplier par ( a / n ) qui tend vers 0 quand n -----> infini, ça donne 0.
Re: La factorielle l'emporte sur l'exponentielle
l’an passé
Bonsoir,
je suis d'accord avec vous Rietveld
on aurait pu aussi etudier le logarithme de la suite, et voir qu'il tend vers moins l'infini (mais ça revient au même)
ou utiliser le critère de d'Alembert.
Re: La factorielle l'emporte sur l'exponentielle
l’an passé
Merci, vous me rassurez, car je me demandais si j'étais passé à côté de quelque chose d'évident,que je ne voyais pas.

Intuitivement, j'aurais plutôt majoré tous les facteurs de la parenthèse de droite par $\frac{ | a |}{N}$, ce qui aurait donné le terme général d'une suite géométrique convergente car $\frac{ | a |}{N} < 1$.



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