La factorielle l'emporte sur l'exponentielle

Bonjour,

je me questionne sur le choix de la valeur de N dans cette démonstration.
Choisir N = E(|a|) +1 nous assure que $\frac{\left | a \right |}{N} < 1$.

Pourquoi découper ce produit en conservant le facteur $\frac{\left | a \right |}{N}$ dans la parenthèse de gauche au lieu de la mettre avec les facteurs de la parenthèse de droite ?

Si j'ai bien compris l'idée de l'auteur de la démonstration, il souhaite regrouper les facteurs strictement inférieurs à 1, pour pouvoir obtenir la majoration :
$\frac{\left | a \right |}{N+1}\cdot\frac{\left | a \right |}{N+2}\cdots\frac{\left | a \right |}{n}\leqslant \frac{\left | a \right |}{n}$ ?

J'ai l'impression qu'il découpe sa liste trop tard, bien que cela soit juste.
Qu'en pensez-vous ?

Pour ma part, j'aurais plutôt essayé de faire apparaître une suite géométrique.