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Oral ENS Ulm, 36 planches

Envoyé par etanche 
P.
Re: Oral ENS Ulm, 36 planches
l’an passé
$(n!)^{1/n}\to 1?$ Tiens tiens.
Re: Oral ENS Ulm, 36 planches
l’an passé
avatar
C’était une coquille $g(n)=n^2$ et $\ln(g(n))=2\ln(n) $ et on n'a pas $ \ln(g(n))\sim n \ln(1)$

Signature: Lorsque cc parle mathématiques, gebrane ne comprend pas grand-chose, il s'y habitue



Edité 1 fois. La dernière correction date de l’an passé et a été effectuée par AD.
P.
Re: Oral ENS Ulm, 36 planches
l’an passé
C'est vrai que pour parler d’équivalence $f(n)\sim g(n)$ cela suppose que $f$ et $g$ ne sont pas nuls. J'aurais donc dû rappeler que ce que je disais suppose $C\neq 1. $ Quand tu fais une division, gebrane, est-ce que tu rappelles toujours que tu supposes le dénominateur non nul ?



Edité 1 fois. La dernière correction date de l’an passé et a été effectuée par AD.
Re: Oral ENS Ulm, 36 planches
l’an passé
@P: de toutes façons quand un équivalent vaut $1$ il me semble qu'on ne peut pas composer la relation d'équivalence par $\log$...ça ferait $\sim 0$ !

Bref tout ça pour dire que side utilise une méthode dite de Laplace qui est quand même assez technique et que je ne comprends pas très bien...
Mais vous allez me dire qu'il n'est pas toujours utile de comprendre parfaitement une méthode pour résoudre un problème smiling smiley



Edité 2 fois. La dernière correction date de l’an passé et a été effectuée par AD.
Re: Oral ENS Ulm, 36 planches
l’an passé
avatar
Merci P, je vois. J’étais loin du contexte, le C était supposé différent de 1

Signature: Lorsque cc parle mathématiques, gebrane ne comprend pas grand-chose, il s'y habitue
Re: Oral ENS Ulm, 36 planches
l’an passé
Concernant la planche 17, il me semble que l'hypothèse $f$ continue sur $[-\frac12,\frac32]$ doit être remplacée par $f$ continue sur $[0,1]$.

Dans cet article, l'auteur propose une stratégie de preuve des deux identités reposant sur un point de vue probabiliste et faisant aussi intervenir les relations entre coefficients et racines pour le polynôme $P_y=2X^3-3X^2+y$. Ce n'est pas clair pour moi... Si quelqu'un avait la gentillesse de détailler ...
Re: Oral ENS Ulm, 36 planches
l’an passé
Bonjour,
J'espère que les détails qui suivent et qui ignorent l'aspect probabiliste te conviendront.

Soit $u$ la fonction: $\:\:x \longmapsto 3x^2 - 2x^3.$
L'examen des variations de $u$ montre que $u$ réalise une bijection de chacun des intervalles $[-\frac 12;0],\: [0;1],\ [1; \frac32]$ sur $[0;1].$
Notons respectivement $v_1,\:v_2,\:v_3 $ les bijections réciproques des précédentes.
Alors: $\forall t \in [0;1],\:\: v_1(t),v_2(t),v_3(t) $ sont les trois solutions (réelles) de l'équation $u(x) =t,\:$ équivalente à $\:\:2x^3-3x^2 +t =0.$
Ainsi: $\:\forall t \in [0;1],\: v_1(t) + v_2(t) +v_3(t) = \frac32,\quad\quad \forall t \in ]0;1[,\:\: v'_1(t) + v'_2(t) + v'_3 (t) = 0.$
En effectuant respectivement sur chacun des intervalles $[-\frac12;0],\:[0;1],\: [1;\frac32]$ le changement de variable $x =v_1(t),\:x =v_2(t),\:x=v_3(t),$
on obtient: $\displaystyle -\int _{-\frac12}^{\frac32} (f\circ u)(x) \:\mathrm dx + 2\int _0^1 (f \circ u)(x) \:\mathrm dx = \int _0^1 f(t) \Big( v'_1(t) +v'_2(t) +v'_3(t) \Big) \:\mathrm dt = 0 \:\:\:\square$



Edité 2 fois. La dernière correction date de l’an passé et a été effectuée par LOU16.
Re: Oral ENS Ulm, 36 planches
l’an passé
@LOU16

Oui, c'est à présent clair. Merci pour ta réponse.
Re: Oral ENS Ulm, 36 planches
l’an passé
@LOU16 tu as prouvé brillament que $\int_{-1/2}^{3/2}f(3x^2-2x^3)dx=2\int_{0}^{1}f(3x^2-2x^3)dx$

ce n'est ce qui est demandé dans la planche 17 il faut prouver que
$\int_{-1/2}^{3/2}xf(3x^2-2x^3)dx=2\int_{0}^{1}xf(3x^2-2x^3)dx$
Re: Oral ENS Ulm, 36 planches
l’an passé
Bonjour Etanche
L'argument est le même: en conservant les notations précédentes, les relations entre coefficients et racines donnent:
$\forall t \in [0;1],\:\:\: v_1(t)^2 + v_2(t)^2 +v_3(t)^2 =\left(\frac 32 \right)^2, \qquad v_1(t)v_1'(t) +v_2(t)v_2'(t) +v_3(t)v_3'(t) =0,$
et un changement de variable identique au précédent conduit à:
$\displaystyle 2\int_0^1x\: (f\circ u )(x)\: \mathrm dx-\int_{-\frac {1}2}^{\frac 32} x\: (f \circ u)(x)\: \mathrm dx =\int_0 ^1 \Big(v_1v_1' + v_2 v_2' +v_3v_3' \Big )(t)\: f(t) \:\mathrm d t = 0.$



Edité 2 fois. La dernière correction date de l’an passé et a été effectuée par LOU16.
Re: Oral ENS Ulm, 36 planches
l’an passé
LOU16 écrivait:
-------------------------------------------------------
Ainsi: $\:\forall t \in [0;1],\: v_1(t) + v_2(t)
+v_3(t) = \frac32,\quad\quad \forall t \in
]0;1[,\:\: v'_1(t) + v'_2(t) + v'_3 (t) = 0.$
En effectuant respectivement sur chacun des
intervalles $[-\frac12;0],\:[0;1],\: [1;\frac32]$
le changement de variable $x =v_1(t),\:x
=v_2(t),\:x=v_3(t),$
on obtient: $\displaystyle -\int
_{-\frac12}^{\frac32} (f\circ u)(x) \:\mathrm dx +
2\int _0^1 (f \circ u)(x) \:\mathrm dx = \int _0^1
f(t) \Big( v'_1(t) +v'_2(t) +v'_3(t) \Big)
\:\mathrm dt = 0 \:\:\:\square$
--------------------------------


Subtil

$-\int_{-1/2}^{3/2}f(u(x))dx=\int_{-1/2}^{0}f(u(x))dx+\int_{0}^{1}f(u(x))dx+\int_{1}^{3/2}f(u(x))dx$
$=\int_{0}^{1}f(t)v'_1(t)dt-\int_{0}^{1}f(t)v'_2(t)dt+\int_{0}^{1}f(t)v'_3(t)dt$



Edité 5 fois. La dernière correction date de l’an passé et a été effectuée par etanche.
Re: Oral ENS Ulm, 36 planches Ceci est un ap
l’an passé
avatar
Chers amis forumeurs,

Ceci est un appel aux bonnes volontés. Nous avons commencé à recueillir et rédiger avec Bobby Joe et Mickaël des solutions détaillées des 36 planches. Nous avançons bien mais, comme vous pouvez le constater avec le document en pièce jointe, le travail est loin d'être terminé ! Certains exercices ne sont pas encore rédigés et il faudra aussi tout relire, corriger, améliorer, etc. Nous ne sommes pas assez nombreux pour finir dans un temps raisonnable.

Quasiment tous les exercices ont une solution rédigée. Il reste encore à relire, corriger, améliorer, etc. J'invite tous ceux qui voudraient participer à ce projet à se manifester.

L'objectif final est de laisser ce document, ainsi que ses sources LaTeX, en libre accès en ligne.
Rien n'empêche les contributeurs d'envoyer aussi leurs solutions à la RMS pour les publier (je contacterai d'ailleurs les rédacteurs pour voir si le projet entier peut intéresser la revue).

Fichiers sources (dépôt framagit).



Edité 3 fois. La dernière correction date de il y a dix mois et a été effectuée par Siméon.
Pièces jointes:
ouvrir | télécharger - Oraux_Ulm_2019(1).pdf (735.5 KB)
Re: Oral ENS Ulm, 36 planches
l’an passé
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C'est une courageuse initiative ! Je veux bien vous aider avec mes modestes moyens, mais j'ai peur de ne savoir résoudre qu'une petite partie des planches (j'étais moi-même candidat). Edit : A moins que toutes les planches aient été résolues dans ce fil et qu'il suffise de les mettre au propre, mais j'ai des doutes.
L'idée est-elle d'écrire des solutions dans le cadre du programme de prépa ? Car le début de la planche 15 fait appel au théorème des nombres premiers... On pourrait remplacer dans ce passage-là la suite $a_k=p_k$ par $a_k = \lfloor k\ln(k)\rfloor$ qui donne aussi un contre-exemple.



Edité 1 fois. La dernière correction date de l’an passé et a été effectuée par Calli.
Re: Oral ENS Ulm, 36 planches
l’an passé
Bonjour,

Planche 32 pas besoin du théorème de Baire ou d'une version affaiblie de Bernstein pour justifier que le rayon est $+\infty$ : vos notations sont maladroites (vous avez $a$ variable et $x$ fixé, source à mon avis de la confusion) et donc la série de terme général $|g(x)| |x-a|^{k}/k! $ est trivialement de rayon infini (ici $x$ est fixé, et la série est en $a$).
Re: Oral ENS Ulm, 36 planches
l’an passé
avatar
Cher Calli,

Toute aide est la bienvenue, même si c'est juste de la relecture. Certaines planches n'ont pas de solution dans le fil, mais ce serait étonnant qu'aucun membre du forum ne les aient déjà cherchées et résolues (d'où l'appel à contribution). Des références externes ont aussi été données pour quelques exercices. En tout cas, si tu repères des énoncés qui t'inspirent, n'hésite pas et envoie moi un message privé.

L'idéal serait effectivement que chaque exercice ait au moins une solution dans la réunion des programmes de MPSI et MP, mais ce n'est pas toujours facile à respecter. Par ailleurs, il est souvent intéressant de d'indiquer en complément d'autres solutions, éventuellement hors-programme, à condition d'expliquer un minimum les arguments.
Re: Oral ENS Ulm, 36 planches
l’an passé
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C'est sympas comme idée. J'essayerai peut-être d'y participer, si j'ai le temps...

Petite question/suggestion : pourquoi ne pas utiliser Overleaf pour la rédaction à plusieurs ?
Re: Oral ENS Ulm, 36 planches
l’an passé
Pour la 32, je sais tout ça...
Mais, la remarque a été écrite (car j'avais en tête ) pour traiter le cas "difficile" qui suit :
Si la série de Taylor de $f$ (une fonction $C^{\infty}$) a un rayon de convergence uniformément minoré en tout point alors $f$ est $\mathbb{R}$-analytique... J'aurais du être plus explicite!
Re: Oral ENS Ulm, 36 planches
l’an passé
avatar
Cher Corto,

Le manque de temps est notre problème à tous, ça ne doit pas t'arrêter ! En fait nous travaillons déjà avec Overleaf (et GitHub) mais je préfère ne pas rendre public le lien de partage des sources pour l'instant. C'est en chantier.
Re: Oral ENS Ulm, 36 planches
l’an passé
Après, par rapport aux exercices étoilés et demandés par la RMS : il ne reste plus qu'une poignée d'exos à traiter (celui sur la CNS pour avoir un vecteur propre en commun et celui sur le "ping-pong" : système dynamique avec des matrices qui commutent...) parmi ceux qui appraissent sur cette planche ^^
Re: Oral ENS Ulm, 36 planches
l’an passé
@simeon merci pour le travail laborieux de la rédaction des solutions et l'accès libre
sur le forum. Excellente idée le partage des connaissances.
Re: Oral ENS Ulm, 36 planches
l’an passé
Hors sujet relatif à la planche 32 (et inutile pour la résolution).

Si une série de Taylor de $f$ a un rayon de convergence uniformément minoré en tout point, alors elle est analytique. On peut montrer ça avec un niveau classe prépa (sans recours à la variable complexe, ni théorème de Baire ni autre résultat d'analyse fonctionnelle) : c'est difficile mais faisable.
De mémoire, dans mon cours de prepa (signalé comme HP par notre prof) on avait : si $f$ est développable en série entière en $0$ de rayon $R$ alors $f$ est développable en serie entière en tout point $a$ du disque ouvert de convergence avec un rayon de convergence supérieur ou égal à la distance $d(a, bord) $. Ce qui suit s'en inspire.


On montre que si on a une égalité $\forall r\in I, \sum_n a_nr^n=\sum_n b_n(R-r)^n $ de sorte que $R-r$ soit strictement inclu dans le disque ouvert de convergence autour $R$ (on évite que $R-r$ soit sur le bord) alors $\sum |b_n|(R+r)^n<+\infty$, ce qui permet d'inverser les deux signes sommes du membre de droite et grâce à l'unicité du développement en série en zéro, on exprime $a_p$ en fonction de la suite $(b_n ), a_p=\sum_{n\ge p} (-1)^pR^{n-p}b_n c(p, n) $ avec $c(p, n) $ coefficient du binôme, puis on montre que $\sum_p |a_p|(R+r)^p<+\infty$ (pas de difficulté)
Une fois qu'on a prouvé ce résultat, si on suppose que le rayon en 0, n'est pas infini, la minoration uniforme du rayon de convergence, permet en considérant un réel suffisamment proche du bord du cercle de convergence, de faire un saut de puce et de trouver un point extérieur strictement au disque de convergence et pour lequel la série de Taylor converge. Donc le rayon de la série de Taylor est infini et comme $0$ ne joue aucun rôle dans cette preuve, le rayon de convergence en tout point réel est infini.


Ensuite si on veut sortir du programme, il y a plus simple : la fonction est $\C$ continûment dérivable en tout point de $\C$, on démontre que $f(z)$ à une représentation intégrale avec la formule de Cauchy (la partie la plus difficile, et c'est pour tout $z$ intérieur à un disque de centre $z_0$ et de rayon $r>0$ avec $r$ aussi grand que le l'on veut) puis on développe en série l'intégrande et on inverse signes $\sum$ et $\int$. C'est la démonstration classique, enfin il me semble, pour l'équivalence analytique/holomorphe, donc on doit trouver les détails dans les premières pages de tout cours sur la variable complexe (enfin je suppose).



Edité 1 fois. La dernière correction date de l&rsquo;an passé et a été effectuée par side.
Re: Oral ENS Ulm, 36 planches
l’an passé
"Si la série de Taylor de $f$ a un rayon de convergence uniformément minoré en tout point alors $f$ est $\mathbb{R}$-analytique" n'est pas un résultat "facile" (ce théorème est connu sous le nom de théorème de Pringsheim).
La difficulté est la suivante : rien ne dit que la série de Taylor de $f$ ne converge vers $f$ et donc que $f$ est analytique... Il suffit de penser à des fonctions plates pour s'en convaincre!
C'est justement la condition sur les rayons uniformément minorés qui permet d'éviter ce genre de pathologie!
C'est plus subtil qu'il n'y parait!
La remarque, extrêment scrabeuse -je l'admets-dans les notes données par Siméon, concerne ce résultat et rien d'autre (comme j'ai tenté de l'expliquer dans un point précédent de ce poste).



Edité 1 fois. La dernière correction date de l&rsquo;an passé et a été effectuée par BobbyJoe.
Re: Oral ENS Ulm, 36 planches
l’an passé
Planche 6 1er sujet


1ère question.
Supposons que $f$ s'annule en 2 points distincts $a, b\in [0;1], a<b$
$f^n\ge 0$ pour $n=0, 1$ donnent $f$ est identiquement nulle sur $[0;b]$ puis on considère la plus grande valeur $b$, qu'on note $c$ telle que $f$ identiquement sur $[0;b]$. Si $c=1$, $f$ est constante cas exclu, donc $c<1$ et par construction et continuité de $f$ on a $f$ identiquement nulle sur $[0:c]$ et $f>0$ sur $]c;1]$.

J'oublie provisoirement la question 1, et je fais un petit détour par le théorème de Taylor Lagrange avec reste intégral.
Notations :
$T_{n, x_0}(x)=\sum_{k=0}^{n} \frac{f^{n}(x_0)}{n!} (x-x_0)^n, R_{n, x_0} (x)=\int_{x_0}^{x} \frac{(x-t)^n} {n!} f^{n+1}(t)dt$

Soit $x_0\in [0;1[$
On écrit la formule de Taylor avec reste intégral à l'ordre $n$ en $x_0$ (toutes les hypothèses sont vérifiées) et comme $f^{n+1}\ge 0$, on a $\forall x\in [x_0;1], f(x)=T_{n, x_0}(x)+R_{n, x_0} (x), R_{n, x_0}(x)\ge 0 $ soit $T_{n, x_0}(x)\le f(x)$ et donc la série de Taylor, qui est série à termes positifs lorsque $x\ge x_0$ et dont les sommes partielles sont majorées, converge.
En particulier, son terme général converge vers $0$ (1)

Retour à la 1ère question. Par continuité des dérivées de n'importe quel ordre en $c$, on a $\forall n\in \N, f^{n}(c)=0$ et donc $\forall x>c, f(x)=R_{n, c}(x)=\int_{c}^{x} \frac{(x-t)^n} {n!} f^{n+1}(t)dt \le \int_{c}^{x} \frac{(x-t)^n} {n!} f^{n+1}(1)dt$ car $f^{n+2}\ge 0$ et donc $f(x) \le \frac{(x-c)^{n+1}}{(n+1)}!f^{n+1}(1)$
D'après $(1)$ un passage à la limite lorsque $n$ tend vers l'infini donne $\forall x>c, f(x) \le 0$ d'où $f$ identiquement nulle sur $[0;1]$, ce qui est exclu par l'énoncé.

Synthèse : $f$ ne peut avoir 2 zéros distincts.
Donc $f$ s'annule au plus une fois.


Question 2
En reprenant les arguments précédents, on a montré que $\forall x_0\in [0;1[, \forall x>x_0, (T_{n, x_0}(x))_{n\in \N} $ converge, c'est à dire que la série de Taylor converge pour des valeurs de $x>x_0$ et on a aussi montré (on remplace $c$ par $x_0$), $\forall x>x_0, 0\le R_{n, x_0}(x)\le \frac{(x-x_0)^{n+1}}{(n+1)!}f^{n+1}(1)$ avec le terme de droite qui tend vers $0$ (voir démonstration précédente) donc $\forall x>x_0$ la suite $(R_{n, x_0}(x))_{n\in \N}) $ converge vers $0$, puis $\forall x>x_0$ la série de Taylor converge pour les valeurs de $x>0$.
Avec les propriétés générales des séries entières (domaine de convergence), on a ainsi que $f$ est développable en serie entière autour de tout point de $[0;1[$.
Et on a montré qu'en tout point $a$ de $[0;1[$, $f$ est égale sur un voisinage de $a$ à sa série de Taylor.

Il me manque la convergence en $1$ pour conclure...



Edité 2 fois. La dernière correction date de l&rsquo;an passé et a été effectuée par side.
Re: Oral ENS Ulm, 36 planches
l’an passé
Planche 28
Je ne vois pas en quoi les probas apparaîtraient comme naturelles pour traiter la question.

Ce qui me semble naturel, surtout pour un oral, c'est de constater que la fonction $S_{\lambda} $ est une fonction croissante de $1$ à valeurs dans $]0;+\infty]$, vaut $+\infty$ en $1$ (on a affaire à la somme de la série harmonique) et un calcul assez simple montre que $S_{0}<+\infty$.
Donc il existe un point critique $c$ éventuellement égal à $1$ pour lequel $\lambda<c$ la série converge , $\lambda>c$ la série vaut $+\infty$, et on ne peut rien dire a priori sur ce qui se passe en $c$.

J'essaierais ensuite de faire des encadrements grossiers (minoration et majoration) pour voir ce qui se passe et éventuellement déterminer $c$ si on est chanceux.

Ça n'aboutit(rait) peut-être pas, mais ça me semble plus adapté comme démarche.



Edité 1 fois. La dernière correction date de l&rsquo;an passé et a été effectuée par side.
Re: Oral ENS Ulm, 36 planches
l’an passé
Planche 31

Je préfère les arguments analytiques, mais bon cette preuve est classique pour des exercices voisins et les arguments recyclables.


Soit $n_i$ le nombre de termes $a$ égaux à $a_i$ et dans la suite on considère les $a_i$ distincts deux à deux.

En considérant la matrice de Vandermonde en lignes $M=V(a_1, a_2,...a_m) $ de taille $m$, et la suite de vecteurs colonnes $X_n=(n_1a_{1}^{n}, n_2a_{2}^{n},...n_ma_{m}^{n})$, l'hypothèse s'écrit : la suite $(MX_n) $ converge, donc la suite $(X_n)$ converge (car $M$ est inversible, et c'est la raison pour laquelle on a rassemblé les $a_i$ qui étaient égaux entre eux) donc $\forall k\in [1;m]$, la suite $(a_{k}^{n}) $ converge donc le rapport de 2 termes consécutifs converge vers $1$ donc $\forall k, a_k=1$.
La réciproque est immédiate.



Edité 1 fois. La dernière correction date de l&rsquo;an passé et a été effectuée par side.
Re: Oral ENS Ulm, 36 planches
l’an passé
avatar
Citation
Side
Planche 28
Je ne vois pas en quoi les probas apparaîtraient comme naturelles pour traiter la question.
Il s'agit au fond d'un problème de dénombrement : combien d'entiers à $k$ chiffres ont moins de $\lambda k $ chiffre $9$ dans leur écriture ? Dénombrement et probabilités étant à ce niveau très reliés.



Edité 1 fois. La dernière correction date de l&rsquo;an passé et a été effectuée par AD.
Re: Oral ENS Ulm, 36 planches
l’an passé
Bonjour,

Planche 5, 2ème exercice
Soit $f_n$ définie par $\forall x\in \R, f_n(x) =(1-1/n)x$, cette suite de fonctions vérifie l'hypothèse et on a bien sa limite simple $g$ définie pas $\forall x, g(x)=x$ qui est continue, comme le prévoit l'énoncé. Par contre, la norme infinie de $f_n-g $ est égale à $+\infty$ et donc le commentaire qui annonce qu'avec le théorème d'Ascoli on peut prouver qu'il y'a convergence uniforme de la suite de fonctions est totalement faux.



Edité 1 fois. La dernière correction date de l&rsquo;an passé et a été effectuée par side.
Re: Oral ENS Ulm, 36 planches
l’an passé
avatar
Oui, c'est parce que le théorème d'Ascoli s'applique à des fonctions définies sur un compact. Ce qui est vrai en revanche, c'est qu'Ascoli donne la convergence uniforme sur les compacts, ce qui est suffisant pour conclure à la continuité de $g$. Donc on peut rattraper cette remarque.



Edité 1 fois. La dernière correction date de l&rsquo;an passé et a été effectuée par Calli.
Re: Oral ENS Ulm, 36 planches
l’an passé
Bonjour,

Planche 21
On va se débarrasser des probabilités pour ramener la question posée à un problème d'analyse qu'on traite en 2 inégalités.

Notations et reformulation de l'énoncé
On introduit les trois suites définies par
$\forall x\in N, F(x)=P(X+Y\ge x)$
$\forall x\in \N, \varphi(x)=P(X\ge x)$
$\forall k\in \N, x_k=P(X=k)$

Comme $X, Y$ ont même loi, on a
$\forall k\in \N, P(Y=k)=x_k, P(Y\ge x)=\varphi(x) $
La suite $\varphi$ est décroissante, et on a $\varphi(0)=1$ (et $\varphi(+\infty)=1$ facile à prouver mais on n'en a pas besoin).
La série à termes positifs $\sum x_k$ est convergente de somme $1$, on note $S_n=\sum_{k=0}^{n} x_k$ la somme partielle de cette série.

L'hypothèse s'écrit $F(x)\sim 2\varphi(x)$ en $+\infty$ et on traduit l'énoncé à prouver par $\varphi(x)\sim \varphi(x-1)$ en $+\infty$.

Comme les variables aléatoires $X, Y$ sont indépendantes, le théorème dont j'ai oublié le nom (version du théorème de Fubini en probabilités discrètes) donne
$F(x) =P(X+Y\ge x)=P(Y\ge x) +\sum_{k=0}^{x-1} P(X\ge x-k) P(Y=k)$ soit $F(x)-\varphi (x) =\sum_{k=0}^{x-1}x_k \varphi(x-k) $(1)

Une fois tout ceci posé, et l'énoncé traduit, on peut démarrer la preuve.
Comme la suite $\varphi$ décroît, on a $\forall x\ge 1, F(x)-\varphi(x) \ge x_0\varphi(x)+(S_{x-1}-x_0)\varphi(x-1)\ge S_{x-1}\varphi(x)$

D'après l'hypothèse de l'énoncé, le membre de gauche de $(1)$ est équivalent à $\varphi(x) $ lorsque $x$ tend vers l'infini.
On constate que le membre de droite de $(1)$ est équivalent à $\varphi(x) $ lorsque $x$ tend vers l'infini.
Donc le membre du milieu de $(1)$ est équivalent à $\varphi(x) $ lorsque $x$ tend vers l'infini. $(2)$

Si $x_0=1$ alors $\forall k>0, x_k=0$ puis $\forall x>0, \varphi(x)=0$ et on l'égalité $\forall x>1, \varphi(x)=\varphi(x-1)=0$ mais on ne peut pas vraiment dire qu'il y a équivalence entre les 2 fonctions.
Si $x_0<1$, alors $(2)$ implique $\varphi(x) \sim \varphi(x-1)$ en $+\infty$.
Re: Oral ENS Ulm, 36 planches
l’an passé
Planche 31
Autre preuve algébrique mais cette fois-ci utilisant cette une récurrence.

Je ne rédige pas la récurrence.
Soit $M\in M_m(\C)=diag(a_1,a_2,...a_m) $ et $P$ son polynôme caractéristique.
Alors $\sum a_{i}^{n}=Tr(M^n) $ et on a $tr(P(M)M^n)=0$ (1) et si on note $L$ la limite de la suite de terme général $tr(M^n) $, on a par passage à la limite dans $(1)$, $LP(1)=0$.

Si $L=0$ en considérant les complexes $a_i/a_1$, on se ramène à $n-1$ nombres complexes de module $1$ qui vérifient l'hypothèse.
Si $L$ est différent de $1$, alors $P(1)=0$ donc $1$ est une valeur propre de $M$ donc l'un des $a_i$ est égal à $1$ et là aussi on se ramène à $n-1$ nombres complexes de module $1$ qui vérifient l'hypothèse.
Re: Oral ENS Ulm, 36 planches
l’an passé
Bonjour,

Planche 23

Je ne suis pas familier du vocabulaire et notations et noms des théorèmes utilisés en probabilité, donc il faut peut-être reprendre...

Je ne me préoccupe pas des conditions de mesurabilité (en ligne avec l'énoncé qui ne s'en préoccupe pas non plus) et j'admets donc que $Z=\sum_{k\in \N} \alpha^k X_k$ est une variable aléatoire, et que $-Z$ est une variable aléatoire de même loi que $Z$ (les $X_k$ sont des variables aléatoires (indépendantes) de lois uniforme sur $\{-1;1\}$).

Lemme 1 : soit $X$ une variable aléatoire, alors les fonctions de la variable réelle $t$, $F_X(t)=P(X\le t)$ et $G_X(t)=P(X\ge t)$ sont respectivement croissante et décroissante. Dem : immédiat via l'inclusion des événements correspondants.

Lemme 2 : la fonction $F_X$ est continue à droite en tout point; la fonction $G_X$ est continue à gauche en tout point.
dem : comme ces fonctions sont monotones, il suffit (et il faut) de prouver que pour $t$ fixé, les limites à l'infini des suites $(F_X(t+1/n)), (G_X=(t-1/n))$ sont respectivement $F_X(t), G_X(t)$.
L'égalité des événements (on le vérifie par double inclusion)
$\{\omega\in \Omega, X(\omega)\le t\} =\cap_{n}\{\omega\in \Omega, X(\omega) \le t+1/n\}$
$\{\omega\in \Omega, X(\omega)\ge t\} =\cap_{n}\{\omega\in \Omega, X(\omega) \ge t-1/n\}$ entraîne le résultat (suite décroissante d'événements et axiome de la mesure de probabilité. Je crois qu'on donne un nom dédié en théorie des probabilités, mais je l'ai oublié).

On a donc, d'après le lemme 2, $F$ est continue à droite en tout point.
Par ailleurs, on a $F(t)=P(Z\le t)=P(-Z\le t)$ car $Z$ et $-Z$ ont même loi donc même fonction de répartition, puis $F(t)=P(Z\ge -t)$ qui d'après le lemme 2 est une fonction continue à gauche en tout point.

Donc $F$ est continue sur $\R$.
Re: Oral ENS Ulm, 36 planches
l’an passé
avatar
Cher side,

Si $t \to t_0$ par valeurs inférieures, alors $-t \to -t_0$ par valeurs supérieures...

Je crois comprendre que tu cherches à prouver la continuité de la fonction de répartition de toute loi symétrique par rapport à $0$. Ceci est évidemment faux, ainsi que le montre l'exemple de la loi $\delta_0$.

P.S. Souhaites-tu participer au projet évoqué plus haut ? Il serait dans ce cas plus intéressant de résoudre des questions dont une solution n'a pas déjà été donnée.



Edité 1 fois. La dernière correction date de l&rsquo;an passé et a été effectuée par Siméon.
Re: Oral ENS Ulm, 36 planches
l’an passé
Non, le projet de rédaction ne m'intéresse pas. S'il y'a des questions sans réponse (bobbyJoe les a listées dans un de ses messages sur cette page, mais j'avoue ne pas avoir compris lesquelles) je veux viens regarder, si je n'ai pas déjà regardé sans succès il y'a 6 mois.
Re: Oral ENS Ulm, 36 planches
l’an passé
Bonjour,

Planche 28 exercice 2

De $A^{2019}=B^{2019}=I$ on a $A, B$ annulent un polynôme dont toutes les racines sont simples donc sont diagonalisables avec leurs valeurs propres racines de $X^{2019}-1=0$, donc de module 1.
$A, B$, commutent donc sont diagonalisables dans une même base (à redémontrer si hors programme : par récurrence, et après avoir montré que $A, B$ ont un vecteur propre commun).

On note $(a_i), (b_i), i\in [1;2019]$ les valeurs propres de $A, B$ répétées avec multiplicité.
De $Tr(AB)=2019$ on déduit $\sum_i a_ib_i=2019$ et le cas d'égalité de l'inégalité triangulaire dans $\C$ entraîne $\forall i, a_ib_i=1$ puis $ a_i=\bar b_i$ et donc $Tr(A)=\overline Tr(B)$ puis comme $A, B$ sont des matrices à coefficients réels, on a $Tr(A)=Tr(B)$
Re: Oral ENS Ulm, 36 planches
l’an passé
Une solution combinatoire à la planche 23.

[artofproblemsolving.com]
Re: Oral ENS Ulm, 36 planches
l’an passé
avatar
Je signale une mise à jour du fichier de solutions : [www.les-mathematiques.net]



Edité 3 fois. La dernière correction date de il y a dix mois et a été effectuée par Siméon.
Re: Oral ENS Ulm, 36 planches
il y a onze mois
Bonjour
Pour l’exercice 1 de la planche 17 on peut aussi montrer le résultat pour les fonctions en escaliers, ce qui est très intéressant pour un élève de sup (lecture du graphe et relations coefficients-racines) puis approcher uniformément.
Vincent

PS: bravo et merci pour tout ce travail!



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a onze mois et a été effectuée par vincent83.
Re: Oral ENS Ulm, 36 planches
il y a onze mois
Bonjour,

svp p 29 du corrigé , en bas solution de l'ex 2 de 8.3 je ne comprends pas l'équivalence : " $A$ est d'ordre 6 $\iff$ $ \chi_A (X)=X^2-X+1$" ?

J'ai compris que le polynôme $X^6-1$ annule $A$ mais après...
Faut-il se servir du théorème de Cayley-Hamilton ou pas du tout ? merci.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a onze mois et a été effectuée par totem.
Re: Oral ENS Ulm, 36 planches
il y a onze mois
avatar
A ma surprise, je découvre que les solutions proposées et discutées dans ce forum sont regroupées au propre dans un fichier. Un grand merci à ceux qui ont contribué à ce grand travail bien soigné.
Bravo

Signature: Lorsque cc parle mathématiques, gebrane ne comprend pas grand-chose, il s'y habitue
Re: Oral ENS Ulm, 36 planches
il y a onze mois
avatar
@totem : Il ya effectivement eu un raccourci... et je ne vois pas ce qui a permis de faire si court !
Voici comment je le vois :

Puisque $\chi_A$ est un polynôme de degré 2 qui annule $A$, par division euclidienne de $X^6-1$ par $\chi_A$, on obtiens un reste $R=aX+b$ qui est de degré inférieur ou égal à 1 (avec $a$ et $b$ dans $\Q$ puisque $A$ l'est) et qui annule $A$. Mais si $a\neq 0$ alors $A$ est une matrice scalaire et à coefficients rationnels qui est d'ordre 6 donc le scalaire en question vaut 1 ou -1 puisque sa puissance 6ème vaut 1... et c'est absurde car $A$ serait alors d'ordre 1 ou 2.
Par conséquent $a=b=0$ et $\chi_A$ divise $X^6-1$.
Si $A$ est d'ordre 6 alors elle n'est pas d'ordre 3, 2 ou 1 donc $X^3-1$, $X^2-1$ et $X-1$ n'annulent pas $A$. Or, dans les facteurs irréductibles sur $\Q$ de $X^6-1$, seul le facteur $X^2-X+1$ ne divise aucun des polynômes précédemment cité. Donc $\chi_A=X^2-X+1$ puisque tous les deux sont unitaires.

Réciproquement, si $\chi_A=X^2-X+1$ alors $X^6-1$ annule $A$ mais $X^3-1$, $X^2-1$ et $X-1$ n'annulent pas $A$ car aucune des racines de ces polynômes n'annule $\chi_A$. Donc $A$ est d'ordre 6.
Re: Oral ENS Ulm, 36 planches
il y a onze mois
@bisam : merci c'est super ton explication !!



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a onze mois et a été effectuée par totem.
Re: Oral ENS Ulm, 36 planches
il y a trois mois
Bonjour
J'ai justement réfléchi sur la planche 8.1. et ai regardé votre solution. Le problème est que, a priori, on n'a pas $b_{n+1}> b_n$ et même en considérant une sous-suite strictement croissante $(b_{n_k})$ on n'a pas forcément $1\geq \frac{n_{k+1}(1-\epsilon)}{n_k}$.

Remarque : pour le sens où on cherche l'existence de la suite $(b_n)$ j'ai considéré : $b_n=\sup \{x \geq 0 \mid P(X \geq x) \geq \frac{1}{n} \}.$ Et cela semble très bien marcher. Pour la réciproque, je coince (cf. ce que j'ai écrit au-dessus).
Cordialement.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a trois mois et a été effectuée par AD.
Re: Oral ENS Ulm, 36 planches
il y a trois mois
Bonsoir,

planche 1


Je fais ça à la physicienne, je ne me souviens pas des histoires de mesurabilité...
(calculs non vérifiés)

Soit $p$ la probabilité recherchée.
Soient $X_0=0$ et $(X_i)_{i\in \N^{*}}$ vai de Bernoulli, $\forall i\in \N^{*}$, $P(X_i=2)=P(X_i=-1)=1/2$
Soient les va définies par $\forall n\in \N, S_n=\sum_{i=0}^n X_i$ et $T_1$ le 1er retour en 0 (c'est-à-dire le plus petit entier $n>0$ tel que pour la trajectoire $\omega, S_n(\omega)=0$ et si un tel entier n'existe pas $T_1(\omega)=+\infty$) de la trajectoire $(n,S_n), n\in \N$. J'admets que $T_1$ est une va.
Soient les transformées en $z$ :
$f(z)=\sum_{n=0}^{+\infty} P(S_n=0)z^n$
$g(z)=\sum_{n=1}^{+\infty} P(T_1=n)z^n$

On note que $g(1)=\sum_{n=1}^{+\infty} P(T_1=n)=P(T_1<+\infty)$ c'est-à-dire que $p=1-g(1)$ désigne la probabilité "qu'on ne s'arrête jamais".
On cherche donc à calculer $g(1)$ ce qui donnera la probabilité recherchée $p$.


Le théorème de Fubini des probas (théorème des probabilités totales???) permet d'écrire $\forall n>0, P(S_n=0)=\sum_{k=1}^{n} P(S_n=0|T_1=k)P(T_1=k)$
(l'événement $\{S_n=0\} \subset \{T_1 \le n \}$ et les événements $ \{T_1 =k \})$ sont disjoints).

$P(S_n=0 |T_1=k)=P(S_{n-k}=0)$ d'où
$f(z)=1+\sum_{n=1}^{+\infty} P(S_n=0)z^n=\sum_{n=1}^{+\infty} \sum_{k=1}^{n} P(S_{n-k}=0)P(T_1=k)z^n$ (rappel $X_0=0$ donc $P(S_0=0)=1$)
puis $f(z)-1=\sum_{k=1}^{+\infty} P(T_1=k)z^k (\sum_{n\ge k} P(S_{n-k}=0)z^{n-k})=\sum_{k=1}^{+\infty} P(T_1=k)z^k (\sum_{l=0}^{+\infty} P(S_{l}=0)z^{l})=g(z)f(z)$

Finalement, $f(z)-1=f(z)g(z)$ et en particulier $g(1)=\frac{f(1)-1}{f(1)}$

Donc $p=1/f(1)$
Il suffit de calculer $f(1)=\sum_{n=0}^{+\infty} P(S_n=0)$ pour obtenir $p$.

Calcul de $P(S_n=0)$

$k+l=n, 2k-l=0$ entraîne $n=3k$ et on a $k=n/3, l=2n/3$
Ainsi $\forall n>0, P(S_{n}=0)$ si $n$ n'est pas un multiple de 3 et $P(S_{3n}=0)=\binom{3n}{n}\frac{1}{2^{3n}}$
Finalement, $p=1/f(1)$ avec $f(1)=1+\sum_{n=1}^{+\infty} \binom{3n}{n}\frac{1}{2^{3n}}=\sum_{n=0}^{+\infty} \binom{3n}{n}\frac{1}{2^{3n}}$


Il reste encore à calculer cette somme...
je ferai çà peut-être plus tard



Edité 3 fois. La dernière correction date de il y a trois mois et a été effectuée par side.
Re: Oral ENS Ulm, 36 planches
il y a trois mois
$\sum_{n=0}^{+\infty} \binom{3n}{n}x^{n}$ s’exprime avec les fonctions hypergeometrique

Voir le post de Sasha



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a trois mois et a été effectuée par etanche.
Re: Oral ENS Ulm, 36 planches
il y a trois mois
merci etanche

je ne sais pas si ce que j'ai rédigé est correct, n'ayant pas vérifié les calculs. Donc je ne me lancerai pas dans le calcul de cette somme avant d'avoir vérifié. Par ailleurs, passer par des fonctions hypergéométriques ça me semble bien trop compliqué pour un oral...
De toute façon, une solution a été proposée par d'autres forumeurs.
Re: Oral ENS Ulm, 36 planches
il y a trois mois
Tiens Igor Khorchemski.... Je l'ai connu de vue à Orsay

[Igor Kortchemski (1987- ) prend toujours une majuscule. AD]

"C'est en forgeant que l'on devient forgeron"



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a trois mois et a été effectuée par AD.
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