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Espace de fonctions continues

ShaimaShaima
dans Analyse
Bonjour
Je vous remercie d'avance pour le temps [que] vous consacrer à lire et à répondre.

Après avoir montrer que $C^{\infty}_c[0,1]$ est une norme sur $\|\cdot\|_E$ où $E=H^1_0$.
$ C^{\infty}_c([0,1])$ est il complet ?
$C^{\infty}_c([0,1])$ est dense dans $L^p$ pour $1\leq p < \infty$. Donc $ C^{\infty}_c([0,1])$ n'est pas complet (corollaire dans le livre de Haim Brezis).

Sauf qu'on me demande de répondre à cette question sans utiliser la convolution et la théorie de distribution.
Mon souci est de construire une suite de Cauchy qui ne converge pas.
Shaima

Réponses

  • gebranegebrane
    chaima ecrivait
    Après avoir montrer que $C^{\infty}_c[0,1]$ est une norme sur $\|\cdot\|_E$ où $E=H^1_0$

    Stp explique moi comment tu démontres qu'un espace est une norme sur une norme?
    Le 😄 Farceur


  • TryssTryss
    À mon avis, il y a eu une inversion, l'énoncé correct étant probablement
    "Après avoir montré que $\|.\|_E$ est une norme sur $C^\infty_c( ]0,1[ )$".
  • gebranegebrane
    Tryss, C'est ma façon de lui dire de soigner la rédaction d'une question
    Le 😄 Farceur


  • Frédéric BosioFrédéric Bosio
    D'autant que l'affirmation de la densité de l'espace dans les $L^p $, sans préciser la norme, ne donne pas directement la non-complétude pour la norme imposée.
  • ShaimaShaima
    Je voulais dire après avoir montrer que c'est un espace vectoriel normé de $H^1_0$,
    il faut montrer qu'elle n'est pas complète.
  • gebranegebrane
    Shaima écrivait : il faut montrer qu'elle n'est pas complète.

    C'est qui elle , la norme ?( l'espace est un le), donc on doit démontrer que la norme n'est pas complète?
    Le 😄 Farceur


  • ShaimaShaima
    $\begin{equation}
    u: C^{\infty}_c ([0,1], ||.|| ) \longrightarrow \mathbb{R} \nonumber \\
    ||u||_{E}=\sqrt{\int_0^1 u(x)^2 dx +\int_0^1 (u'(x))^2 dx }
    \end{equation}$
    L'espace $C^{\infty}_c $ est il une norme pour la norme $E$?
    $\forall x\in [0,1], ~~~ ||u||_E \geq 0$; car $u(x)\geq 0$ et $u'(x)\geq 0$ par définition de racine. (positivité)
    $\forall x\in [0,1],~~~||u||_E=0 ~~ \Leftrightarrow $
    $
    \int_0^1(u)^2 = 0 ~~ \Rightarrow u =0$, car $(u)^2>0.$
    de même
    $\int_0^1(u')^2 = 0 \Longrightarrow u' =0$, car $(u')^2>0$.
    Donc, $||u||_{E}=0 \Longrightarrow u=0 $ ($||.||_E$ est définie).

    $\forall x\in [0,1], ~~\forall \lambda \in \mathbb{R},~~~,|| \lambda u||_E=|\lambda| || u||_E ~~$, triviale (homogénéité)
    $\forall x\in [0,1],~~~ \forall~u,~v \in C^{\infty}_c ([0,1])~$ on a
    \begin{eqnarray}
    ||u+v||_{E} &=& \sqrt{\int_0^1 (u+v)^2 dx +\int_0^1 (u'+v')^2 dx } \nonumber \\
    &=& \sqrt{\int_0^1 (u^2+v^2 +2 uv ) +\int_0^1 (~ (u')^2+(v')^2 +2u'v'~) } \nonumber \\
    &=& \sqrt{\int_0^1 u^2+\int_0^1 v^2 +2\int_0^1 uv ) +\int_0^1 ~ (u')^2+\int_0^1 (v')^2 +2\int_0^1 u'v' } \nonumber \\
    &\leq & \sqrt{\| u\|^2_{L^2}+\|v\|^2_{L^2} +2\|u\|_{L^2} \|v\|_{L^2} + \| u'\|^2_{L^2}+\|v'\|^2_{L^2} +2\|u'\|_{L^2} \|v'\|_{L^2} }\\
    &&\text{après réarrangement on obtient} \nonumber \\
    &\leq & \sqrt{ (\| u\|_{L^2}+ \|v\|_{L^2} )^2 +( \| u'\|_{L^2} +\|v'\|_{L^2})^2} \nonumber \\
    &&\forall a,b\geq 0;~~\sqrt{a^2+b^2}\leq \sqrt{(a+b)^2} \nonumber \\
    &\leq & \sqrt{ (\| u\|_{L^2}+ \|v\|_{L^2} )^2 } +\sqrt{ (\| u'\|_{L^2} +\|v'\|_{L^2})^2} \nonumber \\
    &\leq & \| u\|_{L^2}+ \|v\|_{L^2} + \| u'\|_{L^2} +\|v'\|_{L^2} \\
    &\leq & \| u\|_{L^2}+ \| u'\|_{L^2} + \|v\|_{L^2}+\|v'\|_{L^2} \\
    ||u+v||_{E} &\leq & \| u\|_E+ \| v\|_E ~~~~\textbf{inégalité triangulaire}

    \end{eqnarray} On en conclut que $u\in C^{\infty}_c[0,1]$ est une norme sur $\|.\|_E$.
    On remarque que $E=H^1_0$.
    $ C^{\infty}_c([0,1])$ est il complet ? C'est là où je me bloque.
    Je pense que cette fois c'est clair.
    Merci pour votre patience.
    Shaima
  • Titi le curieuxTiti le curieux
    Je dis peut-être une connerie, mais je crois que ce n'est pas complet et propose donc de partir sur un contre-exemple. Je pense qu'on peut chercher des séries de fonctions de classe $C^\infty$ convergeant vers une fonction $f$ et dont la série des dérivées converge uniformément vers la série dérivée de $f$, sachant que $f$ est de classe $C^1$ mais pas $C^2$. Je n'ai pas tenté le coup (et ne peux donc jurer que la série des dérivées converge uniformément), mais peut-être que la série de Fourier de la fonction $f$ avec $f(x)=0$ pour $x\in [0, 0.5]$ et $f(x)=(x-0.5)^2$ au-delà ferait l'affaire.
  • TryssTryss
    Tu dis "On remarque que $E=H^1_0$. ", mais quelle est ta définition de $H^1_0$ ?
  • ShaimaShaima
    $H^1_0([0,1])=\{u\in L^2[0,1],\ u'\in L^2[0,1] \mid u(1)=u(0)=0\} $
  • TryssTryss
    A priori, cette définition n'a pas de sens, les fonctions de $L^2$ n'étant définies que presque partout.
  • ShaimaShaima
    $H^1_0([0,1])=\{v\in H^1([0,1]),\ \exists (v_n)_{n\in \mathbb{N}} \in C^{\infty}_c([0,1]~ \text{telle que}~ \lim_{n\to +\infty} \|v_n - v\|_{H^1([0,1])} =0\} $
  • ShaimaShaima
    Merci pour ce prise de conscience.
    Le remarque ici, n'a pas de sens.
  • TryssTryss
    Du coup, avec cette définition de $H^1_0$, si $C^\infty_c(]0,1[)$ était complet pour la norme de $H^1$, qu'est-ce que ça impliquerait ?
  • ShaimaShaima
    Je pense que je dis de connerie.
    Si $C^1_c(]0,1[)$ était complet, elle serait égale à $H^1$
  • Frédéric BosioFrédéric Bosio
    Pas à $H^1$ a priori, mais plutôt à $H^1 _0 $ qui est un sous-espace fermé de $H^1 $pour la norme $\| . \| _E $, et en fait l'adhérence de $C^{\infty } _c $, parce qu'on peut voir (exrcice à faire) que la valeur en un point d'une fonction de $H^1 $ (d'un intervalle réel, c'est faux en grande dimension), est bien définie (et donne une forme linéaire continue sur $H^1 $).
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