Espace de fonctions continues
Bonjour
Je vous remercie d'avance pour le temps [que] vous consacrer à lire et à répondre.
Après avoir montrer que $C^{\infty}_c[0,1]$ est une norme sur $\|\cdot\|_E$ où $E=H^1_0$.
$ C^{\infty}_c([0,1])$ est il complet ?
$C^{\infty}_c([0,1])$ est dense dans $L^p$ pour $1\leq p < \infty$. Donc $ C^{\infty}_c([0,1])$ n'est pas complet (corollaire dans le livre de Haim Brezis).
Sauf qu'on me demande de répondre à cette question sans utiliser la convolution et la théorie de distribution.
Mon souci est de construire une suite de Cauchy qui ne converge pas.
Shaima
Je vous remercie d'avance pour le temps [que] vous consacrer à lire et à répondre.
Après avoir montrer que $C^{\infty}_c[0,1]$ est une norme sur $\|\cdot\|_E$ où $E=H^1_0$.
$ C^{\infty}_c([0,1])$ est il complet ?
$C^{\infty}_c([0,1])$ est dense dans $L^p$ pour $1\leq p < \infty$. Donc $ C^{\infty}_c([0,1])$ n'est pas complet (corollaire dans le livre de Haim Brezis).
Sauf qu'on me demande de répondre à cette question sans utiliser la convolution et la théorie de distribution.
Mon souci est de construire une suite de Cauchy qui ne converge pas.
Shaima
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Réponses
Après avoir montrer que $C^{\infty}_c[0,1]$ est une norme sur $\|\cdot\|_E$ où $E=H^1_0$
Stp explique moi comment tu démontres qu'un espace est une norme sur une norme?
"Après avoir montré que $\|.\|_E$ est une norme sur $C^\infty_c( ]0,1[ )$".
il faut montrer qu'elle n'est pas complète.
C'est qui elle , la norme ?( l'espace est un le), donc on doit démontrer que la norme n'est pas complète?
u: C^{\infty}_c ([0,1], ||.|| ) \longrightarrow \mathbb{R} \nonumber \\
||u||_{E}=\sqrt{\int_0^1 u(x)^2 dx +\int_0^1 (u'(x))^2 dx }
\end{equation}$
L'espace $C^{\infty}_c $ est il une norme pour la norme $E$?
$\forall x\in [0,1], ~~~ ||u||_E \geq 0$; car $u(x)\geq 0$ et $u'(x)\geq 0$ par définition de racine. (positivité)
$\forall x\in [0,1],~~~||u||_E=0 ~~ \Leftrightarrow $
$
\int_0^1(u)^2 = 0 ~~ \Rightarrow u =0$, car $(u)^2>0.$
de même
$\int_0^1(u')^2 = 0 \Longrightarrow u' =0$, car $(u')^2>0$.
Donc, $||u||_{E}=0 \Longrightarrow u=0 $ ($||.||_E$ est définie).
$\forall x\in [0,1], ~~\forall \lambda \in \mathbb{R},~~~,|| \lambda u||_E=|\lambda| || u||_E ~~$, triviale (homogénéité)
$\forall x\in [0,1],~~~ \forall~u,~v \in C^{\infty}_c ([0,1])~$ on a
\begin{eqnarray}
||u+v||_{E} &=& \sqrt{\int_0^1 (u+v)^2 dx +\int_0^1 (u'+v')^2 dx } \nonumber \\
&=& \sqrt{\int_0^1 (u^2+v^2 +2 uv ) +\int_0^1 (~ (u')^2+(v')^2 +2u'v'~) } \nonumber \\
&=& \sqrt{\int_0^1 u^2+\int_0^1 v^2 +2\int_0^1 uv ) +\int_0^1 ~ (u')^2+\int_0^1 (v')^2 +2\int_0^1 u'v' } \nonumber \\
&\leq & \sqrt{\| u\|^2_{L^2}+\|v\|^2_{L^2} +2\|u\|_{L^2} \|v\|_{L^2} + \| u'\|^2_{L^2}+\|v'\|^2_{L^2} +2\|u'\|_{L^2} \|v'\|_{L^2} }\\
&&\text{après réarrangement on obtient} \nonumber \\
&\leq & \sqrt{ (\| u\|_{L^2}+ \|v\|_{L^2} )^2 +( \| u'\|_{L^2} +\|v'\|_{L^2})^2} \nonumber \\
&&\forall a,b\geq 0;~~\sqrt{a^2+b^2}\leq \sqrt{(a+b)^2} \nonumber \\
&\leq & \sqrt{ (\| u\|_{L^2}+ \|v\|_{L^2} )^2 } +\sqrt{ (\| u'\|_{L^2} +\|v'\|_{L^2})^2} \nonumber \\
&\leq & \| u\|_{L^2}+ \|v\|_{L^2} + \| u'\|_{L^2} +\|v'\|_{L^2} \\
&\leq & \| u\|_{L^2}+ \| u'\|_{L^2} + \|v\|_{L^2}+\|v'\|_{L^2} \\
||u+v||_{E} &\leq & \| u\|_E+ \| v\|_E ~~~~\textbf{inégalité triangulaire}
\end{eqnarray} On en conclut que $u\in C^{\infty}_c[0,1]$ est une norme sur $\|.\|_E$.
On remarque que $E=H^1_0$.
$ C^{\infty}_c([0,1])$ est il complet ? C'est là où je me bloque.
Je pense que cette fois c'est clair.
Merci pour votre patience.
Shaima
Le remarque ici, n'a pas de sens.
Si $C^1_c(]0,1[)$ était complet, elle serait égale à $H^1$