Analytique: oui mais non?

Oui, il me semble que ça s'appelle le théorème d'extension de Riemann, qui dit que si $f$ est holomorphe sur $\Bbb C^*$ et borné autour d'un voisinage de zéro alors $f$ s'étends en fonction holomorphe sur $\Bbb C$.

La démo est ici (la page Wikipédia n'est pas en français désolé) : https://en.wikipedia.org/wiki/Removable_singularity

La démonstration c'est que $(z-z_0) f(z)$ est holomorphe partout donc par la formule intégrale de Cauchy elle est aussi analytique.

Sinon tu peux aussi dire que analytique sur $|z-z_0| > 0$ implique $$f(z) = \frac1{2i\pi} \int_{|s-z_0|=R} \frac{f(s)}{s-z}ds-\frac1{2i\pi} \int_{|s-z_0|=\epsilon}\frac{f(s)}{s-z}ds$$ comme $f$ est bornée quand $\epsilon \to 0$ la deuxième intégrale $\to 0$ et en développant $1/(s-z)$ en série géométrique tu as l'analyticité.