Définition d'une fonction par Heaviside
Bonjour
j'ai la question suivante: on a la fonction $$
f(x)
=
\begin{cases}
1 &: 0 \leq x < 1\\
0 &:1 \leq x < 2,\\
1 &: 2 \leq x < 3\\
0 &: 3 \leq x < 4,\\
1 &: 4 \leq x < 5,\\
0 &: 5 \leq x < +\infty
\end{cases}
$$ Je lis qu'on peut écrire $f(x)$ par : $$
f(x)= [H_0(x)-H_1(x)]+ [H_2(x)-H_3(x)]+[H_4(x)-H_5(x)],
$$ où la fonction $H_c(x)= 0$ si $0 \leq x < c$ et $0$ si $x \geq c$.
Comment justifier cette égalité ?
Cordialement.
j'ai la question suivante: on a la fonction $$
f(x)
=
\begin{cases}
1 &: 0 \leq x < 1\\
0 &:1 \leq x < 2,\\
1 &: 2 \leq x < 3\\
0 &: 3 \leq x < 4,\\
1 &: 4 \leq x < 5,\\
0 &: 5 \leq x < +\infty
\end{cases}
$$ Je lis qu'on peut écrire $f(x)$ par : $$
f(x)= [H_0(x)-H_1(x)]+ [H_2(x)-H_3(x)]+[H_4(x)-H_5(x)],
$$ où la fonction $H_c(x)= 0$ si $0 \leq x < c$ et $0$ si $x \geq c$.
Comment justifier cette égalité ?
Cordialement.
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Réponses
Fais un dessin.
Puis regarde la valeur de $f$ sur chaque intervalle.
Alain
la valeur de f est 1 puis 0 puis 1 ... ect.
Je ne comprends pas pourquoi et comment on peut l'écrire sous la forme de somme de différence entre des Heaviside.
H_a(x)-H_b(x)
=
\begin{cases}
0 &: x \leq a\\
1 &:a < x < b\\
0&: x \geq b
\end{cases}
$$ Maintenant quelle est la relation entre ça et ma question initiale?
Cordialement.
Si $f(x)=f_1(x)$ sur [0,a[, $f(x)=f_2$ sur $[a,+\infty[$ alors tu peux ecrire f sous la somme $f(x)=f_1(x)H(x)+(f_2(x)-f_1(x)) H(x-a)$
Tu peux généraliser si $f(x)=f_1(x)$ sur [0,a[, $f(x)=f_2$ sur $[a,b[$ , $f(x)=f_3$ sur $[b,+\infty[$ en
$$ f(x)=f_1(x)H(x)+(f_2(x)-f_1(x)) H(x-a)+(f_3(x)-f_2(x)) H(x-b)$$
Adapte cela à ton problème avec $H_a(x)=H(x-a)$