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Quotient de suites de limite nulle

Envoyé par VictorTrou 
Quotient de suites de limite nulle
il y a dix mois
Bonjour,

Soit $u=(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ et $v=(v_n)_{n\in\mathbb{N}}$ deux suites réelles convergeant vers $0$ et $\ell \in \mathbb{R}$. Supposons que la suite $v=(v_n)_{n\in\mathbb{N}}$ soit strictement décroissante et que la suite $\left(\frac{u_n - u_{n+1}}{v_n - v_{n+1}} \right)_{n\in\mathbb{N}}$ converge vers $\ell$. Montrons que la suite $\left( \frac{u_n}{v_n}\right)_{n\in\mathbb{N}}$ converge vers $\ell$.

Soit $\varepsilon >0$. Il existe un rang $n_0\in\mathbb{N}$ tel que pour tout $n\in\mathbb{N}$ vérifiant $n\geqslant n_0$ on ait $ \left\lvert \frac{u_n - u_{n+1}}{v_n - v_{n+1}} - \ell \right\rvert \leqslant \varepsilon$ ou encore $(\ell - \varepsilon )(v_n - v_{n+1}) \leqslant u_n - u_{n+1} \leqslant (\ell + \varepsilon) (v_n - v_{n+1})$.
Soit $p\in\mathbb{N}^{*}$. Par télescopage $(\ell - \varepsilon )(v_0 - v_{p}) \leqslant u_0 - u_{p} \leqslant (\ell + \varepsilon) (v_0 - v_{p})$. En passant à la limite j'obtiens la convergence de la suite $\left( \frac{u_0 - u_p}{v_0-v_p}\right)_{p\in\mathbb{N}}$ vers $\ell$, comment trouve-t-on celle de la suite $\left( \frac{u_n}{v_n}\right)_{n\in\mathbb{N}}$ ?

Merci d'avance pour vos réponses.



Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a dix mois et a été effectuée par VictorTrou.
Re: Quotient de suites de limite nulle
il y a dix mois
avatar

Attention, le télescopage se fait sur une somme qui ne commence pas à 0 !

Sinon, partant de la même idée, plutôt que ton $n_{0}$ et $p$, prends plutôt deux entiers $p$ et $q$ ARBITRAIRES et recopie ton raisonnement, jusqu'à avoir ton encadrement avec les epsilons. La conclusion devrait être plus claire.
Re: Quotient de suites de limite nulle
il y a dix mois
Au passage, tu ne peux pas montrer que $ \frac{u_0 - u_p}{v_0-v_p} \to l$, car cela voudrait dire que $ \frac{u_0}{v_0} =l$ (les suites $(u_n)$ et $(v_n)$ convergeant vers $0$)
Re: Quotient de suites de limite nulle
il y a dix mois
Tryss, je ne comprends pas la contradiction dans $\frac{u_0}{v_0}=\ell$.

Riemann_lapins_cretins, je ne suis pas sur d'avoir compris votre conseil : faire un télescopage de $p$ à $q$ pour obtenir l'encadrement $(\ell - \varepsilon)(v_p - v_q) \leqslant u_p - u_q \leqslant (\ell + \varepsilon)(v_p - v_q)$ ?
Re: Quotient de suites de limite nulle
il y a dix mois
Bonsoir,

On peut aussi rédiger ainsi la chose:

Soit $\varepsilon >0.\quad \exists N\in \N$ tel que $n\geqslant N \implies\left| (u_n-u_{n+1}) -l(v_n-v_{n+1})\right|<\varepsilon (v_n - v_{n+1}).$
$\forall n \geqslant N,\qquad \displaystyle \left|\sum_{k=n}^{+\infty} (u_k-u_{k+1}) -l(v_k-v_{k+1}) \right|< \varepsilon \sum_{k=n}^{+\infty} (v_k-v_{k+1}),\quad \left|u_n -lv_n \right| <\varepsilon v_n,\quad \left|\dfrac {u_n}{v_n} -l \right|<\varepsilon\:\:\square$



Edité 3 fois. La dernière correction date de il y a dix mois et a été effectuée par LOU16.
Re: Quotient de suites de limite nulle
il y a dix mois
@VictorTrou : parce que tu peux arbitrairement modifier $u_0$ et $v_0$ sans changer la limite $l$

Si $u_n$ et $v_n$ sont deux suites qui vérifient les hypothèses de l'énoncé, alors $\tilde{v}_n$ défini par $\tilde{v}_0 = v_0+1$ et $\tilde{v}_n = v_n$ pour $n>0$ vérifie aussi les hypothèses de l'énoncé (pour le même $l$), on aurai donc :

$\frac{u_0}{v_0} = l = \frac{u_0}{\tilde{v}_0} $

C'est à dire

$\frac{u_0}{v_0} = \frac{u_0}{v_0+1} $, ce qui entrainerai que $v_0 = v_0+1 $



Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a dix mois et a été effectuée par Tryss.
Re: Quotient de suites de limite nulle
il y a dix mois
avatar

Oui, cet encadrement devrait suffire. Il est vrai pour tous p et q assez grands je rappelle.

La contradiction pour le premier raisonnement c'est que le quotient vaut, en l'infini, par les propriétés usuelles sur les limites, u_0/v_0. Mais ça vaut aussi l. Or, on peur bien changer les premier termes de nos suites comme on veut sans changer la convergence, et donc faire en sorte que ce quotient ne vaille pas l.
La faille du raisonnement est que ce n'est pas 0 l'indice mais un certain n_0, dans l'inégalité finale. Or, ce n_0 dépend de epsilon. Donc on n'a pas de bonne inégalité avec des epsilons pour conclure avec la faute du premier post.
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