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Problème dans $L_{per}^2(Y)$

Envoyé par poli12 
Problème dans $L_{per}^2(Y)$
il y a neuf mois
Bonjour
$L_{per} ^2(Y)$ est le sous-ensemble de $L^2(Y)$ formé des fonctions qui sont $1$-périodiques. Soit $f=(f_1,\ldots,f_N)$ une fonction bornée et $1$-périodique, j'aimerais savoir si $\mathrm{div}(f) \in L_{per} ^2(Y),$ $Y=[0,1]^N,\ N\in \mathbb N$.

Nul n'a le monopole du savoir.



Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a neuf mois et a été effectuée par AD.
Re: probleme dans $L_{per} ^2(Y)$
il y a neuf mois
avatar
bonjour poli,
si f dans $L^2(Y)$, quel sens donnes-tu à $div f$?

Signature: Notre but principal dans cette vie est d' aider les autres . Et si vous ne pouvez pas les aider, au moins ne leur faites pas de mal.
Re: probleme dans $L_{per} ^2(Y)$
il y a neuf mois
bonjour gebrane. j'ai changé avant ton poste.
Re: probleme dans $L_{per} ^2(Y)$
il y a neuf mois
avatar
J'ai bien vu ton édit avant! dans quel sens tu considères les dérivées partielles des $ f_i$

Signature: Notre but principal dans cette vie est d' aider les autres . Et si vous ne pouvez pas les aider, au moins ne leur faites pas de mal.
Re: Problème dans $L_{per}^2(Y)$
il y a neuf mois
aux sens des distributions.
Re: Problème dans $L_{per}^2(Y)$
il y a neuf mois
avatar
une dérivation au sens des distributions ne garantie pas qu'une fonction L^2 periodique reste L^2. tu peux construire des exemples pour faire apparaître Dirac après dérivation

Signature: Notre but principal dans cette vie est d' aider les autres . Et si vous ne pouvez pas les aider, au moins ne leur faites pas de mal.
Re: Problème dans $L_{per}^2(Y)$
il y a neuf mois
Bien que Y soit bornée ?
Bref je me pose la question de savoir si $(uv)’=u’v+v’u$ dans $L^2(Y)$.
Re: Problème dans $L_{per}^2(Y)$
il y a neuf mois
avatar
Negative, prend u=v= fonction de Heaviside

Signature: Notre but principal dans cette vie est d' aider les autres . Et si vous ne pouvez pas les aider, au moins ne leur faites pas de mal.
Re: Problème dans $L_{per}^2(Y)$
il y a neuf mois
Périodique ou pas, si $f$ est dans $L^2$ pour que $div(f)$ soit dans $L^2$, il en faut un peu plus sur $f$...
Re: Problème dans $L_{per}^2(Y)$
il y a neuf mois
Ça veut dire que l’orientation que je prends n’est pas bonne. Au fait je vais vous envoyer le document de G.Allaire sur lequel je travaille peut-être vous sauriez mieux m’indiquer quel axe suivre.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a neuf mois et a été effectuée par AD.
Re: Problème dans $L_{per}^2(Y)$
il y a neuf mois
voici le document dans lequel je travaille. Il y a le lemme 1.2.1 de la page 7. qu'on applique sur le problème 1.9. je ne comprends pas comment ils font pour appliquer cela? En fait je n'arrive pas à me mettre dans les hypothèses pour appliquer cela. Merci pour toute aide.
Pièces jointes:
ouvrir | télécharger - lect1-homo-allaire.pdf (231 KB)
Re: Problème dans $L_{per}^2(Y)$
il y a neuf mois
Si je ne m'abuse, on peut réecrire le problème (1.9) sous la forme

$-\text{div}A(y)\nabla_yw_i(y) = f(y)$, avec $f(y) = \text{div}A(y) e_i$

Reste alors à montrer que $\int_Y f(y) dy = 0$, ce qui est ici une conséquence du théorème de la divergence + la périodicité de A(y)
Re: Problème dans $L_{per}^2(Y)$
il y a neuf mois
Mais le théorème demande d’abord que $f \in L_{per} ^2 (Y)$. Et mon problème est que je n’arrive pas à montrer cela lorsque je prends $f=Ae_i$
je voulais dire que le théorème demande d’abord que $f \in L_{per} ^2 (Y)$. Et mon problème est que je n’arrive pas à montrer cela lorsque je prends $f=div(Ae_i)$ . ou $Ae_i$ est le produit du tenseur A et du vecteur $e_i$



Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a neuf mois et a été effectuée par poli12.
Re: Problème dans $L_{per}^2(Y)$
il y a neuf mois
avatar
Il faut comprendre ce qu'est ce A, ça dit que c'est la matrice d'un tenseur d'ordre 2. Il faut voir si A(y) signifie le produit A.y ( produit matrice par un vecteur)

Signature: Notre but principal dans cette vie est d' aider les autres . Et si vous ne pouvez pas les aider, au moins ne leur faites pas de mal.
Re: Problème dans $L_{per}^2(Y)$
il y a neuf mois
Tout est sur la page 2 du document.

La propriété (1.1) permet de montrer que c'est dans $L^2(Y)$, et deux phrases plus loin,

" The matrix $A(y)$ is a periodic function of $y$, with period $Y$", d'où l'on déduit que $y \mapsto A(y)e_i$ est dans $L^2_{per}(Y)$
Re: Problème dans $L_{per}^2(Y)$
il y a neuf mois
avatar
Tryss, on veut que sa divergence soit L^2

Signature: Notre but principal dans cette vie est d' aider les autres . Et si vous ne pouvez pas les aider, au moins ne leur faites pas de mal.
Re: Problème dans $L_{per}^2(Y)$
il y a neuf mois
$\newcommand{\div}{\operatorname{div}}$Bonjour, si mes souvenirs sont justes.
Soit $f\in L^2(Y)$, alors $T:\phi\in D(Y) \to\R$ définie par : $T(\phi)=-\int_Y f\div(\phi)$ est une distribution.
Car par Cauchy-Schwarz $$
|T(\phi)|\leq \Big(\int_Yf^2\Big)^{1/2} \sup_Y \Big|\div(\phi)\Big|.
$$ On dit alors que $f$ admet une divergence au sens distribution et on note $\div(f)=T$. Ceci n'implique pas toujours $\div(f)\in L^2(Y)$ i.e $T$ régulière, mais $\div(f)\in L^2(Y)$ dans le cas $f\in H^1(Y)$.

[Herman Schwarz (1843-1921), tout comme Augustin Cauchy (1789-1857) prennent tous deux des majuscules. AD]



Edité 4 fois. La dernière correction date de il y a neuf mois et a été effectuée par AD.
Re: Problème dans $L_{per}^2(Y)$
il y a neuf mois
Je n'ai pas pu montrer que $\div(Ae_i) \in L_{per} ^2(Y)$ j'ai fait la formulation variationnelle de ces problèmes aux cellules pour pallier à ce problème mais je voulais vraiment utiliser ce lemme.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a neuf mois et a été effectuée par AD.
Re: Problème dans $L_{per}^2(Y)$
il y a neuf mois
abdelbaki.attioui
comment montres-tu que $\sup_{Y}\div(f)$ existe ?



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a neuf mois et a été effectuée par AD.
Re: Problème dans $L_{per}^2(Y)$
il y a neuf mois
avatar
Poli de ma part, désolé je ne peux pas t'aider car il faut lire ton papier minutieusement et comprendre les notations. Je n'ai pas le temps ni l'envie. mais si tu poses une questions précise avec des notations claires, peut-être !

Signature: Notre but principal dans cette vie est d' aider les autres . Et si vous ne pouvez pas les aider, au moins ne leur faites pas de mal.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a neuf mois et a été effectuée par AD.
Re: Problème dans $L_{per}^2(Y)$
il y a neuf mois
D'accord gebrane bien que je n'arrive pas à être plus clair que cela.
Merci bien



Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a neuf mois et a été effectuée par poli12.
Re: Problème dans $L_{per}^2(Y)$
il y a neuf mois
En fait le lemme est valable avec un second membre plus général que $L^2_{per}$, du style dans le dual de $H^1_{per}$. Je te conseille en parallèle le livre de "Introduction to homogenization" de P. Donato et D. Cioranescu, il y a tout une partie sur les pbs elliptiques périodiques...
Re: Problème dans $L_{per}^2(Y)$
il y a neuf mois
S'il vous plait $OG$ vous pouvez avoir ce livre en pdf?



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a neuf mois et a été effectuée par poli12.
Re: Problème dans $L_{per}^2(Y)$
il y a neuf mois
A mon avis, il y peu de chance que $\text{div}(A(y)e_i)$ soit $L^2$ dans tout les cas.

Ne serait-ce que parce que si $A(y)e_i$ n'est pas continu, sa divergence n'est pas forcément une fonction.
Re: Problème dans $L_{per}^2(Y)$
il y a huit mois
Bonsoir je profite de ces notations pour demander si quelqu'un peu m'aider à montrer que $D_{per}(Y)$ est dense dans $L_{per} ^2(Y)$?
Re: Problème dans $L_{per}^2(Y)$
il y a huit mois
$L^2_{per}(Y)$ ($Y$ étant un pavé ouvert) c'est juste une fonction définie p.p. sur $\R^N$, $Y$-périodique et dont la restriction à $Y$ est $L^2$. Normalement $Y$ est un ouvert, donc pour la densité on approche la restriction sur $Y$ par une fonction $C^\infty$ à support compact dans $Y$ et après on étend la fonction régulière à $\R^N$ tout entier par périodicité...
Re: Problème dans $L_{per}^2(Y)$
il y a huit mois
Merci beaucoup
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